Der Märzhase kann sein Produkt p nur dann eindeutig in zwei Faktoren zerlegen, wenn es eine Primzahl ist. Die beiden Faktoren wären dann 1 und p und die Summe betrüge s = p + 1. Da aber der Hutmacher behauptet, der Märzhase könne auf gar keinen Fall seine Zahl kennen, kann s keine um 1 erhöhte Primzahl sein. Der Märzhase kann natürlich die Überlegungen des Hutmachers nachvollziehen und weiß deshalb, dass s keine um 1 erhöhte Primzahl ist. Wenn er nun alle Zerlegungen seines Produkts in zwei Faktoren betrachtet und feststellt, dass nur in einem einzigen Fall die Summe dieser beiden Faktoren nicht um 1 größer ist als eine Primzahl, dann muss dies die gesuchte Summe s des Hutmachers sein. Da s = 136 ist, können Alice’ Zahlen nur eines der Paare (1, 135), (2, 134), (3, 133), …, (68, 68) sein. Das Produkt p des Märzhasen muss somit eine der Zahlen 135, 268, 399, …, 4624 sein. Jede diese Zahlen p lässt sich auf unterschiedlich viele Weisen in zwei Faktoren zerlegen. Zwei Faktorenpaare sind jedoch bei jeder dieser Zahlen dabei: (1, p) und (p1, p2), wobei p1 + p2 = 136 ist. In beiden Fällen ist die Summe nicht um 1 größer als eine Primzahl. Darum kann keine dieser Zahlen das Produkt p des Märzhasen sein. Doch es gibt eine Ausnahme: Wenn es sich bei (1, p) und (p1, p2) um dasselbe Zahlenpaar handelt, wird aus den zwei Fällen nur ein einziger Fall. Die beiden Faktoren können dann nur 1 und 135 sein, und p muss den Wert 135 haben. Die Zahl 135 kann auf vier verschiedene Weisen in zwei Faktoren zerlegt werden: 1 · 135, 3 · 45, 9 · 24 und 5 · 27. Das führt zu den Summen 136, 48, 24 und 32. Nur 135 ist nicht um 1 größer als eine Primzahl. Also sind die beiden Zahlen von Alice 1 und 135.
Die Gewinner
Das Los hat unter den richtigen Einsendern entschieden. Buchpreise bekommen: Heinrich Abermann, Uelzen; Fritz Hoffe, Berlin; Helga Kalten, Wien, Österreich; Gerd Lammer, Köln; Frauke Zoller, Dresden. Wir gratulieren allen Gewinnern.
