Umgerechnet in Stunden entsprechen die beiden Uhrzeiten 2.25 Uhr und 3.35 Uhr den Werten (2 + 25/60) h und (3 + 35/60) h. Der Minutenzeiger einer Uhr legt pro Minute einen Winkel von 6 Grad (°) zurück und der Stundenzeiger pro Stunde einen Winkel von 30°. Darum schließen um 2.25 Uhr der Minuten- und der Stundenzeiger mit der 12-Uhr-Stellung die Winkel 25 · 6° = 150° und (2 + 25/60) · 30° = 72,5° ein. Der Winkel zwischen beiden Zeigern hat somit die Größe a = 150° – 72,5° = 77,5°. Mit entsprechenden Überlegungen erhält man, dass die beiden Zeiger um 3.35 Uhr einen Winkel von b = 102,5° einschließen. Über den Kosinussatz sind die Minutenzeigerlänge m, die Stundenzeigerlänge h und die von den Zeigern eingeschlossenen Winkel mit den Abständen der Zeigerspitzen verknüpft: 1612 = m2 + h2 – 2mh cos a und 1992 = m2 + h2 – 2mh cos b. Da a und b sich zu 180° ergänzen, gilt cos b = cos (180° – a), was sich zu –cos a vereinfachen lässt. Dadurch erhält die zweite Zeigerabstandsgleichung die Form 1992 = m2 + h2 + 2mh cos a. Addiert man beide Abstandsgleichungen, bekommt man 1612 + 1992 = 2(m2 + h2) oder m2 + h2 = 32 761. Um 9.00 Uhr stehen der Stunden- und der Minutenzeiger senkrecht zueinander. Der Abstand der Zeigerspitzen beträgt deshalb nach dem Satz des Pythagoras m2+h2 = 32 761= 181 Millimeter.
Die Gewinner
Das Los hat unter den richtigen Einsendern entschieden: Je ein bdw-Hörbuch „Das feurige Ende der Welt” bekommen: Berthold Heinrich, Herne; Amelie Ilk, Overath; Peter Lutz, Essen; Dr. Hans Reiffert, Ober-Ramstadt; Hans-Jörg Scheulen, Schwäbisch Gmünd. Wir gratulieren allen Gewinnern.
