Wir hatten ein großes Gartenschwimmbad im Fernsehstudio aufstellen lassen. Die Techniker hatten den Wasserzulauf in die Mitte des kreisrunden Beckens gelegt und um das Wasserrohr ein schmales Podest errichtet, das den Wasserspiegel überragte. Das Szenenbild wirkte echt. Sogar lebende Goldfische schwammen munter im Wasser. In diesem Spiel ging es um die Geometrie und die Tragfähigkeit der einfachsten Brücken, die ohne Leim und Nagel zusammenhalten. Mit der kleinstmöglichen Zahl von Brettern sollte ein selbsttragender begehbarer Steg vom Rande des Bassins zu dem Podest in der Mitte gebaut werden. Zu diesem Ziel stellten wir jeder der beiden Mannschaften, die in diesem Spiel wetteiferten, sechs gleiche Bretter zur Verfügung, die einzeln zu kurz waren, um die Distanz zu überbrücken. Sieger sollte die Mannschaft sein, die mit der kleinsten Zahl von Brettern die Tragfähigkeit ihrer Konstruktion praktisch unter Beweis stellte.
Eine Lösung mit vier Brettern: Die zwei Mannschaften – sechs Jungen und Mädchen mit Physik als Leistungsfach, die gegen die gleiche Zahl von Eltern ihrer Schule antraten – probierten wenig planmäßig verschiedene Anordnungen von Brettern über- und nebeneinander aus, ohne in der kurzen Bedenkzeit von etwa einer Minute zu einer brauchbaren Lösung zu kommen.
Alle ihre Modelle mußten außen beschwert werden, damit die inneren Teile nicht ins Wasser fielen. Solche Konstruktionen konnte man beim besten Willen nicht als selbsttragend bezeichnen. Schließlich brachten wir gemeinsam eine Brücke oder – bescheidener – einen Steg aus vier Brettern zustande, der vom Beckenrand zur Mitte reichte und sogar unter dem Gewicht einer Person nicht zusammenbrach. Die ineinandergesteckten Bretter halten durch Haftkräfte zusammen, die vom Gewicht der Bretter geweckt werden. Die Brücke ist also selbsttragend. Die überbrückbare Spannweite R hängt außer von der Brettlänge l von der für die Tragkraft der Brücke wichtigen Dicke der Bretter ab, durch die sich das Bauwerk aus der Ebene in den Raum hochwölbt. Bei mäßig dicken Brettern kann man mit dieser Konstruktion etwa das Anderthalbfache der Brettlänge überbrücken (R ~ 1,5 l). Genauer habe ich die Eigenschaften dieser Konstruktion nicht studiert, weil sie nicht die gesuchte Lösung mit der kleinstmöglichen Anzahl von Brettern war.
Nur drei Bretter: Welches der vier Bretter ist entbehrlich? Ohne Schaden läßt sich eines der zwei schräg stehenden Bretter rechts oder links herausnehmen. Schiebt man das Querbrett in die entstandene Lücke vor, entsteht ein Steg aus drei Brettern, die sich zyklisch überlappen wie die Laschen bei dem üblichen Laschenverschluß eines Kartons. Nun geht es darum, die Brücke größter Spannweite zu ermitteln, die sich aus drei Brettern gegebener Länge und Dikke bauen läßt, und zu prüfen, ob sich damit die vorgeschriebene Distanz über das Wasser überbrücken läßt.
Die Position jedes Brettes ist durch die Position seiner Unterkante und seines Auflagepunkts auf dem jeweils folgenden Brett bestimmt. Also ist die Geometrie der Brücke ausschließlich durch die Innenkanten ihrer drei Bretter gegeben, während die Außenkanten zweier Bretter “windschief” zueinander stehen, das heißt, weder parallel laufen noch einander schneiden.Wenn sich die Brücke mit zwei Füßen auf den kreisförmigen Rand des Wasserbeckens und mit dem dritten Fuß auf das schmale Podest in der Mitte stützt, bilden die Fußpunkte der Brettinnenkanten fast ein gleichschenkliges Dreieck. Wie man leicht sieht, sind Dreibretterbrücken, deren Grunddreieck gleichschenklig, aber nicht gleichseitig ist, unsymmetrisch. Ihre systematische Untersuchung würde für unsere Zwecke einen viel zu großen Aufwand erfordern. Ich beschränke mich deshalb auf die Konstruktionen, deren Grunddreieck gleichseitig ist, denn ich bin mir sicher, damit der optimalen Lösung nahezukommen. Den Lesern bleibt überlassen, mit der gleichen Art Bretter längere Brücken von unsymmetrischer Form zu bauen. Ich bin neugierig, wieviel größer ihre Spannweite sein kann.
Die symmetrische Dreibretterbrücke: Die Brücke wird auf ebenem Boden gebaut. Für die Bemessung der Konstruktion ist nicht die wahre Länge l der Bretter, sondern nur die “tragende” Länge ihrer Innenkanten vom Fußpunkt am Boden bis zum Auflagepunkt auf dem Folgebrett, kurz: ihre Baulänge l’, von Bedeutung. Ein geringer Überstand l – l’ muß bleiben, damit die Bretter nicht abrutschen. Die Steilheit der Brücke gemessen am Winkel α, den ein Brett mit dem Boden einschließt, wird durch die Dicke d der Bretter und die Seitenlänge c des inneren Dreiecks bestimmt. Die Höhe h und die Spannweite R der Brücke hängen darüber hinaus von der Baulänge l’ ab.
Da die Eckpunkte des inneren Dreiecks aus Symmetriegründen auf gleicher Höhe liegen, gilt sinα = d/c. Aus der Ähnlichkeit der zwei rechtwinkligen Dreiekke im Aufriß, die c beziehungsweise l’ als Hypothenusen haben, schließt man auf die Höhe h = dl’/c. Die im Grundriß erscheinende Projektion l’cosa der Baulänge l’ auf die Bodenebene kann nicht kleiner als c werden. Daraus ergibt sich für die Steilheit αder Brücke die untere Grenze d/l’ ¾ 1/2 sin(2α). Das Verhältnis ε = d/l’ der Dicke eines Brettes zu seiner Länge ist eine kleine Zahl etwa zwischen 1/25 und 1/100.
Die Spannweite R der Brücke berechnet man durch Anwendung des Cosinus-Satzes der ebenen Trigonometrie auf das in den Grundriß eingezeichnete Dreieck mit der langen Seite R und den kürzeren Seiten l’cosα und l’cosα – c, die den Winkel 120° einschließen. Das Ergebnis ist: siehe Formel 1 oben
mit der Abkürzung q = 2d/l’sin(2α). Der Radikand der Quadratwurzel ist für alle reellen q und die Spannweite R daher für alle Winkel a zwischen 0° und 90° positiv, wie es sein muß.
Wächst die Spannweite R mit zunehmendem Winkel α, oder nimmt sie ab? Darüber entscheidet das Vorzeichen der ersten Ableitung von R2: dR2/dα. Ausgeschrieben ist sie eine komplizierte Funktion: siehe Formel 2 unten Wird sie nur für den kleinstmöglichen Winkel α zu dem gewählten e betrachtet (ε = 1/2 sin(2α)), für den der Sinus durch sein Argument, der Cosinus durch 1 angenähert werden darf, gilt näherungsweise α = ε. Der Ausdruck reduziert sich auf die einfache Formel dR2/dα = l’2/α. Die Spannweite der Brücke wächst also mit dem Winkel a, bis dR2/dα möglicherweise sein Vorzeichen wechselt. Für Winkel zwischen 0° und 90° tritt dieser Fall ein, wenn der Ausdruck in der Klammer 0 wird. Die quadratische Gleichung für e hat zwei Lösungen, von denen die Bedingung ε ¾ 1/2 sin(2α) den einen Zweig auswählt: siehe Formel 3 unten
Demnach gibt es für kleine ε (ε 0,433) theoretisch eine größte Spannweite R. Praktisch werden die Brücken schon vorher so steil, daß die Bretter abrutschen. In dem Ratespiel, von dem ich berichtete, waren die Daten der Bretter l’ = 1 m und d = 4 cm, also ε = 0,04. Die größte Spannweite, R = 1,54 m, lag bei einer Steilheit von α = 14,4 Grad vor. Auch wenn man das Maximum praktisch nicht erreicht, überbrückt dieser Steg bequem die 1,25 m vom Rand zur Mitte.
Nachdem ich die Brücke zusammengebaut und mit Hilfe der Schülermannschaft auf das Bassin gesetzt hatte, mußte ich den Beweis ihrer Tragfähigkeit erbringen. Auf dem schmalen Brett über dem Wasser balancierend fiel mir auf, daß sich die Bretter beim Transport der Brücke verschoben hatten und ich Gefahr lief, mit allen Brettern ins Wasser zu fallen. In der Regiezone sahen etliche schadenfroh zu und wünschten dem Moderator ein Bad. Ich gönnte den Zuschauern zwar den Spaß, und naß zu werden hätte mir am Schluß der Sendung wenig ausgemacht. Aber würden die Zuschauer den Kollaps der Brücke nicht als Konstruktionsfehler mißverstehen? Zum Glück landete ich trockenen Fußes wieder auf festem Boden.
Nachspiel: Kürzlich rief mich eine Fernsehredakteurin an: “Herr Bürger, wir hatten in der letzten Sendung als Publikumsfrage die Aufgabe gestellt, eine Brücke aus drei Brettern über einen Bach zu bauen, und müssen in der nächsten Woche die Auflösung bringen. Wir haben viele Einsendungen bekommen und so viele widersprüchliche Zuschriften gelesen, daß wir selbst nicht mehr wissen, was richtig ist. Können Sie uns helfen?” Das konnte ich natürlich, und die Leser können es auch.
Außer einer begehbaren Dreibretterbrücke baute der Moderator in der nächsten Sendung eine kleine Brücke aus drei Streichhölzern, die er auf den Rand eines Wasserglases setzte. Darauf ließ sich ein zweites randvoll gefülltes Wasserglas stellen. Wer Lust hat zu spielen, kann ähnliche Kuppeln aus vier, fünf oder mehr Streichhölzern bauen, die sich zyklisch aufeinander stützen. Fünfzigfach vergrößert bilden sie beim elementaren Bauen das Fachwerk stabiler flacher Dachgewölbe.
Wolfgang Bürger
