Als ich den weißen Vogel zum ersten Mal seine langen Flügel ruhig und in vollendetem Gleichmaß auf und ab schwingen sah, stand für mich fest, daß er Jonathan Livingston Seagull verkörpert, die eigenwillige “Möwe Jonathan” aus Richard Bachs Novelle.
Meisterlicher Flug: Kennen Sie die Parabel von der Möwe, die sich im Streben nach Vollkommenheit von ihrem Schwarm trennt und den Sinn des Lebens im meisterlichen Flug findet? “Um in Gedankenschnelle zu fliegen”, sagt die Möwe, “mußt du schon vor Beginn wissen, daß du angekommen bist.” Spüren Sie einen Hauch von Zen-Buddhismus? Die Suche nach der Wahrheit findet im Hier und Jetzt statt, sagt der Meister. Wer die Wahrheit in der Ferne sucht, wird sie nirgends finden. Doch kehren wir zum Alltag zurück, zum hölzernen Vogel.
Mechanisch betrachtet ist die schwingende Möwe an der Zimmerdecke nichts weiter als ein Schwerependel. Aber warum schwingt der Vogel so langsam, und warum ist die Schwingung des gewichtigen Vogels bereits von leichtem Wind anzuregen wie ein Mobile?
Ruhelagen des Vogels: Die Flügel hängen an einem Querbalken, der zwar pendelnd aufgehängt ist, aber waagerecht bleibt, wenn sich der Vogel nicht erheblich zur Seite bewegt. In der Ruhelage ist er symmetrisch, das heißt, in der Mitte gibt es eine senkrechte Symmetrie- Ebene. Es genügt deshalb, den halben Mechanismus auf einer Seite der Ebene zu untersuchen.
Die Haltefäden (Länge c in der Projektion auf die Senkrechte) sind am Querbalken im Abstand 2d voneinander und an den Flügeln im Abstand a von den Scharnieren befestigt, der Schwer-punkt S eines Flügels hat den Abstand b vom Körper (die geringe Breite des Körpers darf vernachlässigt werden). Die Massen des Körpers und eines Flügels sind M beziehungsweise m, die Masse der Schnur ist dagegen unerheblich. Zum “Halbvogel” zählt nur die halbe Körpermasse, M/2.
In dem Viereck, das die Spiegelebene mit dem Flügel, dem Faden und dem Haltestab bildet, liest man die geometrische Beziehung a cosα = d + c sinβab. Je länger die Haltefäden sind (c groß gegen a und d) – eine Voraussetzung für langsames Schwingen -, desto kleiner ist der Winkel β. Wir richten die Ruhelage in jedem Fall für β = 0 ein. Unter dieser Voraussetzung folgt aus dem Gleichgewicht der Drehmomente am Flügel in Bezug auf den Drehpunkt am Scharnier sowie dem Gleichgewicht der Vertikalkräfte durch Elimination der Fadenkraft die Bedingung a = 2mb/(M+2m). In diesem Abstand a vom Körper wird der Faden am Flügel befestigt.
Um sich davon zu überzeugen, daß der halbe Vogel in seinem Schwerpunkt B aufgehängt ist, muß man ihn nicht zersägen. Für das Gleichgewicht bei beliebiger Fadenlänge c findet man nämlich die Bedingung sinα (a cosα – d) = 0. Damit lassen sich ein paar einfache Beobachtungen erklären. Faßt man den Faden eng (d kürzer als a), gibt es außer der labilen Gleichgewichtslage α = 0, aus der der Vogel sofort auswandert, Ruhelagen bei zwei Anstellwinkeln a der Flügel, für die cosα = d/a gilt, der Faden also senkrecht hängt (β = 0), einen positiven (α > 0, aufgerichtete Flügel) und einen negativen (α< 0, hängende Flügel). Dort besteht stabiles Gleichgewicht (die Winkel a stellen sich aus “Platzgründen” ein). Faßt man die Fäden dagegen weit (d größer als a) – in diesem Fall kann der Klammerausdruck nicht 0 werden, weil cosa nicht größer als 1 werden kann -, bleiben die Flügel für alle Längen d horizontal (α = 0) wie ein gespanntes gewichtsloses Seil. Wir hängen nun den Vogel so auf, daß d = a ist.
Schwingungen entstehen beim Zusammenwirken zweier Elemente: einer “Rückholkraft”, die den Mechanismus aus beliebiger Lage in seine Ruhelage zurückzieht, und der “Trägheit” der Massen, die ihn nicht sofort wieder in der Ruhelage zum Stillstand kommen, sondern darüber hinausschwingen läßt. Dadurch wiederholt sich der Prozeß periodisch, wenn er nicht durch Dämpfung geschwächt oder durch einen Antrieb angefacht wird. Die Möwe ist ein Schwerependel: Die Ursache der Rückholkraft ist die Hebung des Schwerpunkts aus seiner Ruhelage.
Wie wir schon wissen, sind die Befestigungsstellen B der Haltefäden an den Flügeln die Schwerpunkte der halben Schwingvögel. Bei symmetrischer Schwingung stimmt daher die Hebung h dieser Punkte mit der Hebung des Gesamtschwerpunkts überein. Somit ist Hebung h mal gehobenes Möwen- Gewicht G = (M+2m)g die gegen die Schwerkraft verrichtete Arbeit oder potentielle Energie V = Gh.
Bei den Bewegungen der Möwe läuft der Fußpunkt B des Haltefadens auf einem Kreisbogen vom Radius c um den Aufhängepunkt am oberen Querbalken, während der Körper des Vogels an der gedachten Mittelebene nach oben oder unten gleitet. Aus der Figur oben rechts läßt sich ablesen: h = c(1 – cosγ), außerdem c sing = a(1 – cosα). Für kleine Winkel, auf die wir uns beschränken, können die Winkelfunktionen durch sinγ = γ beziehungsweise cosγ ≈ 1 – γ2/2 (und entsprechend für α) angenähert werden.
Fügt man alles zusammen und setzt für a den schon berechneten Wert ein, ergibt sich die potentielle Energie
V=((m²b²g)*α) / (2c(M+2m))*α Verständlich ist, daß die Fadenlänge c im Nenner steht, bemerkenswert aber ist die Proportionalität zur vierten Potenz des Winkels a. Beides trägt dazu bei, daß bei kleinen Auslenkungen und langem Faden die Rückholkraft außer-ordentlich klein bleibt. Entsprechend rechnet sich die Bewegungsenergie (kinetische Energie) des Mechanismus aus mehreren Anteilen zusammen. Sie ergibt sich, ebenfalls bei kleinen Auslenkungen, als
T=(2mb²(2M+m))*α²)/3(M+2m)*α² α = dα/dt ist die Zeitableitung des Winkels oder die Winkelgeschwindigkeit der Drehung eines Flügels. Als Trägheitsmoment des Flügels um die zum Scharniergelenk parallele Achse durch seinen Schwerpunkt wurde vereinfachend das eines Rechteckflügels der Länge 2b angenommen: J = mb2/3.
Wenn die Luftreibung außer acht gelassen wird, bleibt die Summe aus kinetischer und potentieller Energie, die Gesamtenergie T + V = E, konstant. Durch Differentiation nach der Zeit und einfache Umformungen folgt die einfachste Schwingungsgleichung der Holzmöwe: siehe unten Formel 1 Die Differentialgleichung ist eine sogenannte Duffingsche Gleichung. Ihre Lösung ließe sich “exakt” durch elliptische Funktionen angeben, die man in Tabellen findet, aber sie bringt uns wenig Einsicht.
Indem wir die Lösung näherungsweise durch eine harmonische Schwingung α = A sinωt ersetzen, schätzen wir die Schwingungsfrequenz f = ω/2π durch “Harmonische Balance” ab. Dazu wird der Ansatz in die Schwingungsgleichung eingesetzt, die dritte Potenz der Winkel-funktion gemäß sin³ωt = (3sinωt – sin3ωt)/4 trigonometrisch umgeformt und der Term mit der dreifachen Frequenz vernachlässigt. Der Rest der Gleichung ist für die zur Schwingungsamplitude A proportionale Schwingungsfrequenz f=(√3/4π) erfüllt, ausgeschrieben: siehe unten Formel 2 Je kleiner die Schwingungsweite A, desto kleiner ist die Frequenz f. Das rührt daher, daß mit abnehmender Schwingungsweite die Rückstellkraft kleiner wird, und erklärt, warum schon ein leichter Wind die Möwe Jonathan zu kleinen Schwingungen anregen kann. Bei schrägen Fäden (β ≠ 0) in der Ruhelage tritt in der Schwingungsgleichung zusätzlich ein im Winkel a lineares Rückstellglied auf, die Schwingungsfrequenz wird für kleine a von der Schwingungsweite unabhängig.
Langsames Schwingen: Eine meiner kleinen Möwen bringt M = 300 g und m = 250 g auf die Waage, ihre Fadenlänge beträgt c = 70 cm. Daraus folgt die Frequenz f = 0,35A pro Sekunde. Bei der Amplitude A = 0,7 (im Bogenmaß, entsprechend 40 Grad) erhält man daraus die Schwingungsdauer T = 1/f = 4,1 Sekunden. Ein einfaches Schwerependel gleicher Länge c schwingt mit T = 1,7 Sekunden Dauer deutlich schneller.
Unübersehbar ist der große Einfluß der Reibung, vor allem der Luftreibung an den Flügeln. Kleine Möwen aus leichtem Holz leiden sehr darunter, weniger meine große, schwere Möwe Jonathan mit 1,40 Meter Spannweite. Das Abklingen der Schwingung kann unsere Rechnung allerdings nicht erklären.
Wolfgang Bürger
