Die Leichtigkeit des Wurzelziehens Was ist die 13. Wurzel aus 1265437718438866624512? Wie bitte? Diese Megazahl? Man muss sich ja schon anstrengen, die Zahl ihrer Stellen zu zählen! Sie wissen nicht, wie man die 13. Wurzel bestimmt? Sie glauben, das könne man unmöglich ausrechnen? Sie meinen, damit könnten Sie bei „ Wetten dass…” auftreten? Vielleicht. Aber dazu bräuchten Sie keine übernatürlichen Kräfte und keine supranaturalen Einsichten, sondern nur ein bisschen Mathematik. Zuerst ein einfacheres Problem: Die 5. Wurzel aus 1350125107, also die 5. Wurzel aus einer Milliarde 350 Millionen 125 Tausend und 107. Eine riesige Zahl. Aber ich verspreche Ihnen: In fünf Minuten können auch Sie dieses Problem lösen! Was ist denn die 5. Wurzel? Na ja, die Zahl, die 5-mal mit sich selbst multipliziert 1350125107 ergibt. Zum Beispiel ist die 5. Wurzel aus 32 gleich 2, denn 2·2·2·2·2 = 32. Man schreibt dafür auch kurz 25 = 32. Entsprechend ist die 5. Wurzel aus 243 gleich 3, denn 35 = 243. Nun die 5. Wurzel aus 1350125107: Der erste Trick besteht darin, die Einerziffer der Wurzelzahl, also des Ergebnisses, zu bestimmen. Das ist ganz einfach: Es ist die Zahl 7. Das liegt daran, dass sich beim Potenzieren mit 5 die Einerziffer nicht ändert: Bei jeder Zahl x haben x und x5 dieselbe Einerziffer. Wenn die Zahl x die Einerziffer 3 hat, dann hat auch x5 die Einerziffer 3. Natürlich ändert sich beim Potenzieren viel, insbesondere die Größe der Zahl. Aber beim Potenzieren mit 5 ändert sich die Einerziffer nicht. Man muss also nur die Endziffer der Zahl anschauen, aus der die 5. Wurzel gezogen werden soll. Dies ist dann auch die Einerziffer der 5. Wurzel. In unserem Fall ist die Einerziffer also 7. Die Hälfte des Problems ist gelöst. Jetzt müssen wir noch die Zehnerziffer bestimmen. Man könnte natürlich einfach die Zahlen 75, 175, 275 und so weiter ausrechnen. Aber es geht einen Tick eleganter: Man kann einfach abschätzen, zwischen welchen Zehnerzahlen die Wurzel liegen muss. Zum Beispiel ist 405 = 102400000, und das ist kleiner als unsere Zahl. Also muss die Wurzel größer als 40 sein. Da 605 = 777600000 immer noch kleiner als die Ausgangszahl ist, ist die Wurzel auch größer als 60. Da aber 705 ( 1680700000) größer ist als unsere 1350125107, muss die Wurzel kleiner als 70 sein. Also ist die 5. Wurzel 1350125107 die Zahl 67. So einfach ist das. Und wie steht es nun mit der 13. Wurzel aus der Megazahl? Zunächst zur Einerziffer. Bei „hoch 13″ funktioniert der gleiche Trick wie bei „hoch 5″. Das gilt allgemein: Beim Potenzieren mit 5, 9, 13, 17, … ändert sich die Einerziffer nicht. Das hat in viel allgemeineren Zusammenhängen der Schweizer Mathematiker Leonard Euler herausgefunden. Man nennt diese Tatsache daher auch den Satz von Euler – obwohl dieser fruchtbare Mathematiker tausende von Sätzen bewiesen hat. Übrigens: Auch bei anderen Potenzen (hoch 3, hoch 7 hoch 1000 …) gibt es eine feste Zuordnung der Einerziffern, diese ist nur ein bisschen schwieriger zu merken als beim Potenzieren mit 13. Wie lautet also die 13. Wurzel aus der Megazahl? Sie brauchen diese Zahl nicht einmal genau zu lesen, nur die letzte Ziffer anschauen, und Sie wissen: Die Einerziffer der 13. Wurzel ist 2. Und die Zehnerziffer? Dazu muss man wieder die Größenordnungen bestimmen, mit anderen Worten: Man muss die Potenzen 1013, 2013, 3013 … ausrechnen. 4013 ist 671088640000000000000, eine Zahl mit 21 Stellen. Da unsere Megazahl 22 Stellen hat, muss die Wurzel also größer als 40 sein. Andererseits hat 5013 schon 23 Stellen. Daraus können Sie schließen, dass die 13. Wurzel der Megazahl zwischen 40 und 50 liegt. Die Einerziffer haben wir ja bereits. Die 13. Wurzel aus 1265437718438866624512 ist also 42! Lassen Sie sich in Zukunft nichts vormachen. Zugegeben, viele Kunststücke sind unglaublich schwierig: Kaninchen aus dem Hut zaubern, Jungfrauen zersägen, die Freiheitsstatue verschwinden lassen… Wurzelziehen ist es nicht. Man braucht nur ein bisschen Gedächtnis, um über die Größenordnung die Zehnerziffer herauszubekommen, und ein bisschen Mathematik für die Einerziffer.
Albrecht Beutelspacher
