Meiner Meinung nach ist meine Tochter die schönste der Welt. Ich würde ihr liebend gerne Kleider kaufen, aber ich darf nicht. Sie hat nämlich einen sehr ausgeprägten Geschmack, und sie ist sicher, dass ich hingegen keine Ahnung davon habe. Außerdem macht ihr das Einkaufen so viel Freude. Allerdings dauert es lange. Die Kleider, T-Shirts und Hosen müssen ihr nämlich hundertprozentig gefallen. Denn sie hat einen sehr speziellen Geschmack …
Noch viel schwieriger als der Einkauf von Kleidung ist die Wahl von Schmuck. Hier ist ihre Vorstellung von Schönheit mit dem Angebot – und ihrem Geldbeutel – nur selten in Einklang zu bringen. Ringe gehen noch. Aber eine Halskette ist eine echte Herausforderung. Sie sucht ewig, und lieber kauft sie nichts, als etwas, was ihr nicht perfekt steht. Aber wenn sie dann eine Kette gefunden hat, sie anlegt und sie mir zeigt, dann passt die Kette wirklich perfekt.
Natürlich sieht das so gut aus, weil meine Tochter so schön ist. Finde ich. Aber es gibt noch einen anderen Grund – einen mathematischen, nämlich die elegante Form, die eine Kette automatisch annimmt: Sie liegt am Nacken an und fällt dann auf beiden Seiten des Halses nach unten, zunächst fast senkrecht. Dann bleibt sie eine Weile ganz steil und schließt sich erst unten zu einem schwungvollen Bogen.
Mathematiker stellen sich eine solche „Kettenlinie” meist ohne meine Tochter vor: Eine Kette oder ein Seil wird an zwei Punkten aufgehängt – das sind die beiden Seiten des Halses – und hängt ansonsten frei, sie liegt also nicht auf. Insofern ist die Form, die eine Halskette bildet, nur annähernd eine mathematisch vollkommene Kettenlinie.
In unserer Umwelt können wir Kettenlinien an verschiedenen Stellen sehen: Leitungsdrähte, die zwischen Strommasten verlaufen, bilden eine Kettenlinie, genauso wie ein Hüpfseil. Selbst eine Brücke formt eine – kaum merkliche – Kettenlinie. Wir sehen: Kettenlinien sind flacher oder steiler, je nachdem, wie weit die beiden Aufhängepunkte voneinander entfernt sind.
Das Interessante aber ist, dass es im Grunde nur eine einzige Kettenlinie gibt. Wir sehen im Allgemeinen nur verschiedene Ausschnitte. Die Kurve, die ein Stromleitungsdraht bildet, erhalte ich auch, wenn ich einen Ausschnitt der Halskette meiner Tochter entsprechend vergrößere.
Das ist so wie bei Quadraten. Es gibt nur eine Sorte von Quadraten. Mathematiker sagen dazu: Je zwei Quadrate sind einander ähnlich. Rechtecke gibt es dagegen in verschiedenen Gestalten: Ein langes schmales und ein kurzes dickes sind sich auch mathematisch gesehen unähnlich. Genau so wie je zwei Quadrate sind sich auch je zwei Kettenlinien ähnlich. Es gibt nur eine Gestalt, die sich klein oder groß zeigen kann.
Man könnte auf den Gedanken kommen, dass eine Kettenlinie eine Parabel ist, eine Kurve, die wir aus der Schule kennen. Der Gedanke liegt nahe, er ist aber nicht richtig. Zwar kann man eine Kettenlinie im Scheitel durch eine Parabel annähern, aber die Kettenlinie steigt steiler an als die Parabel. Letztlich wächst die Kettenlinie exponentiell, also viel stärker als eine Parabel.
Dies und die formelmäßige Beschreibung einer Kettenlinie haben im Jahre 1690 die Herren Gottfried Wilhelm Leibniz, Christiaan Huygens, Johann und Jakob Bernoulli – lauter Heroen der frühen Infinitesimalrechnung – in einer Art Wettbewerb untereinander herausgefunden. Sie kannten keine Stromleitungen, keine freitragenden Brücken, und sie kannten auch nicht meine Tochter. Trotzdem haben sie schon damals vorausgeahnt, was allen Dreien gemeinsam ist.
Prof. Albrecht Beutelspacher
