Zu ihrem dreizehnten Geburtstag habe ich meiner Tochter Christina ein Puzzle geschenkt. Es besteht aus 1000 Pappstückchen und zeigt eine Panorama-Aufnahme des Hamburger Hafens. Christina ist begeisterte Puzzlerin. Schon als kleines Mädchen setzte sie die bunten Teile zu Bildern zusammen. Zuerst hatten die Spiele nur wenige Elemente, aber schon bald mußten die Puzzle 300 oder 500 Teile haben. Ich beobachtete Christina, wie sie ihr neues Puzzle zusammensetzte. Sie ging immer nach der gleichen Strategie vor: Zuerst schüttete sie alle Teile auf den Tisch und drehte sie so, daß alle mit der Bildseite nach oben zeigten. Dann setzte sie zunächst die vier Randreihen des Puzzles zusammen:
Die sind immer leicht zu finden, weil sie eine völlig gerade Kante haben. Die fertigen Randreihen legte sie danach zu einem Rahmen für das Puzzle, in den die restlichen Teile eingebaut werden mußten. Nun setzte sie jeweils mehrere Elemente zu Blöcken zusammen, die sie später als Ganzes in den Rahmen einfügen konnte. Mir ging beim Zusehen die Frage durch den Kopf, was wohl die optimale Strategie sei, um mit möglichst wenig Zügen das Puzzle fertigzustellen. Mit einem Zug meine ich das Zusammenfügen zweier Blöcke. Aus wie vielen Teilen jeder der beiden Blöcke dabei besteht, spielt keine Rolle: Es können einzelne Teile sein, ebenso wie zwei, drei oder sogar Hunderte. Natürlich zählt es auch als Zug, wenn man zwei Blöcke zu einem größeren Block zusammenfügt. Es erschien mir einleuchtend, daß man wesentlich mehr Züge braucht, wenn man das Puzzle aus einzelnen Teilen Reihe für Reihe aufbaut, als wenn man erst einzelne Teile zu Blöcken zusammensetzt, diese Blöcke wieder zu größeren Blöcken und so weiter. Ich konnte jedoch nicht herausbekommen, bei welchem Verfahren wie viele Züge wenigstens gebraucht werden. Wissen Sie, wie viele Züge man mindestens benötigt, um ein tausendteiliges Puzzle komplett zusammenzusetzen?
Die Lösung des März-Cogitos:
Am einfachsten stellt man sich zur Lösung des Problems zunächst einmal ein Knoten-Fünfeck her. Beim Auseinanderfalten sieht man, daß der Knoten aus vier aneinanderhängenden gleichen Trapezen besteht. Eines dieser vier Trapeze liegt auch schon auf der Oberseite des Knotens frei, und man sieht, daß die drei kurzen Trapezseiten a zugleich auch Seiten des Fünfecks sind.
Somit müssen die beiden stumpfen Trapezwinkel » gleich dem Innenwinkel des regelmäßigen Fünfecks von 108° sein. Da die Winkelsumme in einem Viereck immer 360° beträgt, haben die spitzen Trapezwinkel einen Wert von y = 72°. Nun kann man aus der Streifenbreite h = 3 cm die beiden Strecken a = h/siny 3,154 cm und b = h/tany 0,975 cm errechnen. Damit hat die kurze Parallelogramm-Seite eine Länge von a 3,154 cm und die lange von 4a + 4b 16,52 cm.
Heinrich Hemme
