Grundsätzlich versucht man in der Mengenlehre mit unendlichen Mengen so umzugehen, wie man es intuitiv mit alltäg- lichen endlichen Mengen tut. Dazu gehört, dass man aus Mengen Elemente auswählen kann, ähnlich wie man sich aus einer Reihe von Töpfen bedient. Diese Vorstellung ist so einfach, dass es lange gedauert hat, bis klar wurde: Es ist beileibe nicht selbstverständlich, wenn man so etwas bei unendlich vielen Töpfen macht. Über diese Erkenntnis stolperte 1890 Giuseppe Peano (1858 bis 1932). Der italienische Logiker hatte das Auswählen als Prinzip entdeckt. Er formulierte das „Auswahlaxiom”: Sind beliebig viele unendliche Mengen vorgegeben, dann kann man aus jeder dieser Mengen genau ein Element auswählen und daraus eine neue Menge bilden. Das Auswahlaxiom ist ein eigenes Axiom, unabhängig von den Mengen-Axiomen, mit denen sich das Rechnen mit den Zahlen begründen lässt. Man kann daher Mathematik mit und ohne Auswahlaxiom betreiben – so wie auch mit und ohne Kontinuumshypothese. Die Unabhängigkeit dieses Axioms von der restlichen Mathematik haben Gödel und Cohen gemeinsam bewiesen. Eine verwirrende Konsequenz des Auswahlaxioms ist das Banach-Tarski-Paradoxon. 1924 „bastelten” Stefan Banach (1892 bis 1945) und Alfred Tarski (1902 bis 1983) mithilfe dieses Axioms aus einer Kugel zwei Kugeln – mit genau dem gleichen Volumen.
