DIE FORM DES WELTRAUMS

Kosmologen suchen im Nachhall des Urknalls nach Spuren von der Gestalt des Weltalls. Vielleicht ist die Wirklichkeit unvorstellbar bizarr – und man muss sie ganz neu entdecken. „Zwei Dinge sind unendlich: Das Universum und die menschliche Dummheit. Beim Universum bin ich mir allerdings nicht ganz sicher” , lautet ein bekanntes Bonmot von Albert Einstein. Die Unsicherheit des genialen Physikers ist durchaus berechtigt, denn die Frage nach der Unendlichkeit des Weltraums wurde bis heute nicht beantwortet. Doch vielleicht steckt die Lösung in den Daten, die Astronomen zurzeit von Messungen der europäischen Raumsonde Planck erhalten und auszuwerten beginnen. Und sie könnte überraschender ausfallen, als Albert Einstein dachte. Denn kühne Kosmologen haben kuriose Weltbilder entwickelt, die das aktuelle Standardmodell des Universums revolutionieren könnten. Dabei geht es um Fragen, mit denen sich die Menschen schon immer beschäftigten – nur heute in astronomischer Potenzierung. So ist die Gestalt der Welt ein uraltes Thema: Scheibe oder Kugel? Bevor es dank der Raumfahrt möglich wurde, die Erde „von außen” zu betrachten, waren nur indirekte Schlüsse möglich. Die sphärische Form unseres Planeten wurde beispielsweise aus der Beobachtung abgeleitet, dass am Horizont von einem Schiff zunächst der Rumpf und erst später der Mast verschwindet. Bereits im 3. Jahrhundert v.Chr. gelang es Eratosthenes – dem Leiter der Bibliothek von Alexandria und Begründer der Geographie – den Erddurchmesser mithilfe von Schattenwürfen und Winkelmessungen recht genau zu bestimmen. Astronomen haben eine ähnliche Schwierigkeit: Auch sie können die Größe und Gestalt des Universums nicht „von außen” erkennen. Doch im Prinzip reichen ihnen Winkelmessungen ebenfalls aus – und vielleicht wirft das All sogar verräterische „Schatten”. Die Forscher sind auf der Suche danach. UNIVERSEN Im Keller Im Keller der Universität Ulm, nur ein paar Kilometer von Einsteins Geburtshaus entfernt, simulieren Computer Millionen von Himmelskarten der Kosmischen Hintergrundstrahlung. Dieses Nachleuchten vom Feuerballstadium des Urknalls, nachweisbar überall am Himmel im Bereich der Mikrowellenstrahlung, hat heute eine Durchschnittstemperatur von nur noch 2,7 Kelvin, also knapp unter minus 270 Grad Celsius. Die Hintergrundstrahlung ist extrem gleichförmig, mit Schwankungen von lediglich ein paar Hunderttausendstel Kelvin. Ein solches zufälliges Fleckenmuster wurde schon ab 1967 vorausgesagt, erstmals 1992 von der Raumsonde COBE gemessen und seit 2001 von der Sonde WMAP über viele Jahre genau kartiert. Kosmologen können daraus die Kennzahlen unseres Universums errechnen, beispielsweise seine Zusammensetzung, sein Alter, seine Energiedichte und eben auch seine Geometrie – zumindest im Prinzip. Deshalb gibt es seit wenigen Jahren ein widerspruchsfreies „Standardmodell”: Demnach ist das Universum 13,7 Milliarden Jahre alt und besteht überwiegend aus einer mysteriösen Dunklen Energie (73 Prozent) und einer nicht weniger rätselhaften Dunklen Materie (23 Prozent), während die sichtbare Materie – Gas, Staub, Sterne und Planeten – lediglich etwa 4 Prozent ausmacht. Auch die Geometrie oder „Krümmung” des Weltraums ist auf wenige Prozent genau bekannt. Doch das genügt den Ulmer Forschern nicht. Sie simulieren und analysieren die Karten der Hintergrundstrahlung mit variierenden Annahmen, um sie dann mit Messungen zu vergleichen. Wie kosmische Kommissare versuchen sie den Fingerabdruck unseres Universums zu identifizieren. Als eines der wenigen Teams weltweit haben sie die vielleicht umfassendste Frage der Welt im Visier: Wie sieht das All als Ganzes aus? HIMMELSKUGEL ODER UNENDLICHE LEERE Ob der Weltraum endlich oder unendlich ist, haben schon die alten griechischen Philosophen diskutiert. Platon und Aristoteles hielten ihn für endlich – begrenzt von der Fixsternsphäre, die das Sonnensystem mit der Erde im Mittelpunkt kugelschalenförmig umgibt. Demokrit und andere Atomisten gingen dagegen von einem unendlich großen Raum aus, der kein Zentrum besitzt und womöglich unendlich viele Welten beherbergt. Zwischen diesen konkurrierenden Weltbildern gibt es keine Versöhnung – aber erstaunlicherweise eine Art Kompromiss. Das ahnte bereits Nikolaus von Kues (alias Cusanus). Der Kardinal stellte um 1440 die mittelalterliche Weltauffassung infrage. Er behauptete: „Das Universum ist eine ,Kugel‘, deren Mittelpunkt überall und deren Umkreis nirgends ist.” Das lässt sich als spekulative Vorwegnahme eines gekrümmten Raums mit sphärischer Metrik interpretieren. Diesen hatte der Mathematiker Bernhard Riemann, Mitbegründer der sogenannten nichteuklidischen Geometrie, in seinem berühmten Habilitationsvortrag an der Universität Göttingen 1854 seinen staunenden Kollegen vorgeführt. Daraufhin mutmaßten einige Astronomen und auch der Philosoph Friedrich Nietzsche, dass eine solche „Hypersphäre” tatsächlich die Gestalt des Weltraums beschreiben könnte. Doch damals gab es keine physikalische Basis dafür. Die schuf erst Einstein 1915 mit seiner Allgemeinen Relativitätstheorie. Und auf deren Grundlage stellte er 1917, in der ersten Arbeit der modernen Kosmologie überhaupt, ein Weltmodell vor, das einen in sich zurücklaufend gekrümmten Raum als dreidimensionales Analogon einer zweidimensionalen Kugeloberfläche beschrieb, ganz wie Riemann es vorweggenommen hatte. Auch wenn Einsteins ursprüngliches Modell nicht funktioniert, weil es statisch ist, der Weltraum sich jedoch ausdehnt, wurde die Hypothese der Hypersphäre bis heute nicht widerlegt. Sie ist im Rahmen der Messungenauigkeiten sogar mit den Daten gut vereinbar, falls der innere „Umfang” des Alls mindestens einige Billionen Lichtjahre beträgt. Das Besondere an der Hypersphäre, der Einstein einen „großen Reiz” attestierte: Ein solches Universum ist zwar endlich, hat aber keine Grenzen. Es besitzt also keinen Rand. Würde man mit einem Raumschiff immer geradeaus fliegen, käme man irgendwann wieder zum Ausgangspunkt zurück. Auch ein Lichtstrahl wäre im Prinzip „kreisförmig” – freilich reicht das Weltalter seit dem Urknall bislang nicht aus für eine „Umkreisung”. Die Situation ist also ähnlich wie auf der Erdkugel: Die Oberfläche ist endlich, aber unbegrenzt. Man könnte immer geradeaus gehen oder schwimmen – und käme niemals an einen Rand, sondern irgendwann wieder dorthin, wo man aufgebrochen ist. Allerdings hinkt der um eine Raumdimension reduzierte Vergleich mit der Erde: Zum einen braucht man sich die Hypersphäre nicht in einen höherdimensionalen Raum eingebettet zu denken, und man könnte sie auch nicht verlassen oder von außen betrachten. Zum anderen ist der Weltraum nicht statisch, sondern dehnt sich seit dem Urknall aus. Sein Volumen wächst also – und zwar „innerlich”, nicht in einen Hyperraum hinein. DREI KOSMISCHE KRÜMMUNGEN Die Hypersphäre ist jedoch nur eines von unendlich vielen Modellen für die geometrische Struktur des Raums im Rahmen der Relativitätstheorie. Unter der bereits von Einstein eingeführten und später als Kosmologisches Prinzip bezeichneten Annahme, dass die Materie- und Energieverteilung im All auf sehr großen Skalen überall nahezu gleich ist – und damit auch die Raumkrümmung –, lassen sich genau drei Fälle unterscheiden (siehe Grafik auf S. 42/43). Sie werden mit der Krümmungszahl k charakterisiert und hängen lediglich von dem sogenannten Dichte- Parameter Ω ab. Diese dimensionslose Größe ergibt sich aus der Summe der normalen Materie, Dunklen Materie und Dunklen Energie. Die drei Möglichkeiten: · Sphärischer Fall: ein global positiv gekrümmter Raum (k gleich +1) mit Ω größer als 1. Wie auf einer Kugeloberfläche haben große Dreiecke eine Winkelsumme von mehr als 180 Grad, und scheinbar parallele Geraden schneiden sich weit entfernt. · Euklidischer Grenzfall: ein global ungekrümmter, „flacher” Raum (k gleich 0) mit Ω gleich 1. Wie in der auf den griechi- schen Mathematiker Euklid zurückgehenden Schulgeometrie ist die Winkelsumme von Dreiecken genau 180 Grad, und parallele Geraden schneiden sich nie. · Hyperbolischer Fall: ein global negativ gekrümmter Raum (k gleich – 1) mit Ω kleiner als 1. Wie auf der Oberfläche eines Sattels besitzen Dreiecke eine Winkelsumme von weniger als 180 Grad, und Parallelen laufen auseinander. Im Prinzip müsste man also nur den Dichte-Parameter bestimmen. Und genau dies tun die Kosmologen – hauptsächlich mithilfe des Temperaturmusters der Kosmischen Hintergrundstrahlung. Ergebnis: Die besten kosmologischen Messungen und Modelle deuten darauf hin, dass Ω ungefähr 1 ist, also sehr nahe beim euklidischen Grenzfall liegt. Der Weltraum ist also fast „flach”, das heißt global ungekrümmt. Daher spricht manches dafür, dass das Universum eine ringförmige Struktur hat (siehe Beitrag „Im Anfang war … der Ring” ab S. 50). Dass Ω exakt gleich 1 ist, lässt sich aufgrund der unvermeidlichen Messfehler und des begrenzten Blicks in den Weltraum allerdings niemals sicher beweisen. Für gemessene Werte von Ω ungefähr gleich 1 sind daher auch sphärische und hyperbolische Geometrien prinzipiell nicht widerlegbar. Somit sind weiterhin alle drei Möglichkeiten im Rennen. Dass das Kosmologische Prinzip plausibel ist, das All also im großen Maßstab gleichförmig aussieht, zeigen Durchmusterungen der großräumigen Galaxienhaufen-Verteilung sowie der Kosmischen Hintergrundstrahlung. Damit scheint die globale Geometrie des Weltraums nur von dem Dichte-Parameter abzuhängen. Das suggerieren nicht nur die populärwissenschaftlichen Sachbücher, sondern auch die meisten astronomischen Lehrbücher. Doch dies ist streng genommen falsch – einerseits, weil sich bereits in der Theorie die Situation als sehr viel unübersichtlicher darstellt, falsch aber auch in der Realität, weil unser Universum eine andere Struktur haben könnte. Eine WELTumspannende frage Einsteins Gleichungen legen also nur die „lokalen” Eigenschaften der Raumzeit fest, nicht ihre Struktur als Ganzes. Diese globale Geometrie muss daher gemessen werden. Sie geht als Krümmungszahl k in die kosmologischen Modelle ein, die im Rahmen der Relativitätstheorie formuliert werden. Doch damit nicht genug: Die globale Krümmung legt auch nicht eindeutig die Gestalt oder Form des Raums fest, die Mathematiker als Topologie bezeichnen. Sie kann ebenfalls nur empirisch bestimmt werden, wenn überhaupt. Spätestens jetzt wird es kompliziert – nicht nur für den Laien. Denn für dreidimensionale Räume gibt es eine verwirrende Fülle von Topologien (siehe Kasten „Eine kleine Raumkunde”). Praktisch alle übersteigen das Vorstellungsvermögen im Alltag, obwohl sie sich mathematisch teilweise sehr einfach konstruieren lassen. Doch welche dieser unendlich vielen topologischen Räume taugen zu einer Beschreibung des Universums, in dem wir leben? Diese wahrhaft weltumspannende Frage ist natürlich viel schwieriger zu beantworten als die nach der Scheiben- oder Kugelgestalt der Erde – aber auch eine faszinierende Herausforderung für den menschlichen Geist, wie Jean-Pierre Luminet vom Pariser Observatorium betont, einer der Pioniere unter den kosmologischen Topologen der jüngeren Zeit. Das je nach Geschmack fantastische oder geradezu surreale Potpourri der Möglichkeiten ist jedenfalls nicht bloß ein unendliches Feld für unüberprüfbare Spekulationen. Denn zumindest ein Teil der Möglichkeiten lässt sich schon heute empirisch testen. Die genauesten und umfangreichsten Untersuchungen weltweit stammen von der Universität Ulm. Dort hat Frank Steiner, Professor für Theoretische Physik und inzwischen emeritiert, mit seinen Mitarbeitern Ende der 1990er-Jahre begonnen, systematisch die Hintergrundstrahlung von Modelluniversen mit kompakten Topologien im Computer zu simulieren und durch den Vergleich mit Messungen zu überprüfen, etwa den Daten der Raumsonde WMAP. Wenn der Dichte-Parameter des Universums unterhalb des kritischen Werts liegt, ist der Raum hyperbolisch, also an jedem Punkt gekrümmt wie ein Sattel oder ein Kartoffelchip. Für den einfachen unverbundenen Fall entspricht das einem unendlichen unbegrenzten Raum. Kompliziertere Topologien können dagegen ein endliches oder ein unendliches Volumen haben und ganz surrealistische „Formen” annehmen. Typischerweise besitzen sie eine Art Horn oder mehrere. Ein solches hyperbolisches nichttriviales Weltmodell wurde erstmals 1976 von den russischen Kosmologen Dmitri D. Sokolov und Alexei A. Starobinsky untersucht. Es hat ein unendlich großes Volumen und entspricht, um eine Dimension reduziert, der Oberfläche eines unendlich langen Trichters. Doch so kann unser Universum nicht beschaffen sein, hat 1997 ein Forscherteam um Janna Levin von der University of Cambridge behauptet. Näherungsrechnungen der Wissenschaftler zeigten nämlich, dass die Trichter-Topologien einen deutlichen Abdruck in der Hintergrundstrahlung hinterlassen müssten, einen großen „eintönigen” Fleck gleicher Temperatur in Richtung des sich verjüngenden Trichterschlunds. Doch einen solchen Fleck gibt es am Mikrowellen-Himmel nicht. Wie sich allerdings herausgestellt hat, machten Levin und ihre Kollegen bei ihren Berechnungen zu große Vereinfachungen. Das haben Frank Steiner, Ralf Aurich und Sven Lustig zusammen mit Holger Then von der Bristol University nachgewiesen und die Rechnungen inzwischen verfeinert. Ergebnis: Bei genauerem Hinsehen gibt es die Temperaturflecken doch überall. Daher bleiben viele Trichter-Topologien im Rennen, falls der Raum hyperbolisch ist. Die Ulmer Kosmologen haben noch ein weiteres hyperbolisches Modell genauer untersucht: den Picard-Raum. Er ist nicht nach dem fiktiven Captain des Raumschiffs Enterprise benannt, sondern nach dem französischen Mathematiker Charles Émile Picard. Dieser Raum ist einer der einfachsten sogenannten mehrfach verbundenen dreidimensionalen Geometrien mit negativer Krümmung. Anschaulich kann man sich ihn genauso wenig vorstellen wie eine Hypersphäre, doch um eine Dimension reduziert ähnelt er einer Vuvuzela. Der Trichter hat eine rechteckige Basis wie eine Pyramide, ist an der Spitze unendlich lang und wird immer schmäler. Das Volumen des Picard-Raums ist endlich – gegenwärtig vielleicht 1032 Kubiklichtjahre –, denn der Trichterschlund weitet sich nicht ins Unendliche aus. Würde man mit einem Raumschiff zum „Rand” der Trichteröffnung fliegen, dann würde man, ohne es zunächst zu bemerken, plötzlich auf der anderen Trichterseite wieder zurückfliegen in Richtung Spitze (siehe Grafik „In den Trichter gekommen” auf S. 44). Blick auf den eigenen hinterkopf In einem Picard-Universum wäre das Kosmologische Prinzip nicht erfüllt. Denn in der Nähe des Trichterrands herrschen andere Verhältnisse als an der Spitze. „Dort würde alles sehr seltsam aussehen, mit Raumrichtungen sowohl sehr geringer als auch sehr großer Ausdehnung”, sagt Ralf Aurich. Im Extremfall könnte man sogar den eigenen Hinterkopf betrachten. Für die Kosmologen wäre diese Spitze ein interessanter Ort – aber zu weit entfernt, um von den irdischen Teleskopen eingesehen werden zu können. „Der Rechenaufwand für hyperbolische Räume ist extrem”, sagt Aurich. „Wir haben bei Ω gleich 0,95 abgebrochen, ein recht unrealistischer Wert, doch sonst hätten wir unsere Computer noch Jahrzehnte lang laufen lassen müssen.” Aber auch so zeigen die Rechnungen, dass die inhomogene Picard-Topologie je nach unserer Position im All ein realistischer Kandidat ist, falls sich das Universum als hyperbolisch erweist. Wenn der kosmische Dichte-Parameter des Universums hingegen über dem kritischen Wert liegt, ist der Raum sphärisch, also positiv gekrümmt. Für den einfachsten Fall entspricht das einem endlichen, aber unbegrenzten Raum analog zur Oberfläche einer Kugel, wie es sich Riemann und Einstein vorgestellt hatten. Doch es gibt unendlich viele kompliziertere sphärische Topologien. Mit einer brachten es Jean-Pierre Luminet und seine Kollegen sogar zu einem Titelthema in der renommierten Fachzeitschrift „nature”. Ihre Hypothese: Unser Universum könnte das dreidimensionale Analogon eines regelmäßigen Zwölfflächners mit leicht positiv gekrümmten Kanten sein. Dieser „ Poincaré-Dodekaeder”, benannt nach dem französischen Mathematiker und Physiker Henri Poincaré, ähnelt entfernt dem Flecken-Muster eines Fußballs. Der Dodekaeder hat 20 Ecken, 30 Kanten und 12 fünfeckige Flächen, die jeweils um 36 Grad zueinander geneigt sind. Diese Flächen sind topologisch miteinander „identifiziert”, also in Wirklichkeit ein und dieselbe – das kann man sich nicht anschaulich vorstellen. Das Besondere an diesem Modell ist, dass es besser zu den WMAP-Daten der Kosmischen Hintergrundstrahlung passt als das euklidische Standardmodell oder ein einfaches sphärisches Universum. Das haben inzwischen auch unabhängige Berechnungen von Sven Lustig und seinen Kollegen gezeigt. Lustig hat in seiner Dissertation neben der Hypersphäre 40 weitere endliche, sphärische homogene Räume mit Computersimulationen im Detail analysiert. Neben dem Poincaré-Dodekaeder stimmte nur noch eine andere Raumform gut mit den WMAP-Daten überein: der binäre Oktaeder-Raum. Seine Einheitszelle kann man sich als Würfel mit abgeschnittenen Ecken vorstellen. Am besten passen die Modelle für einen Dichte- Parameter Ω zwischen 1,01 und 1,04, was mit den WMAP-Daten vereinbar ist. wie gut ist das all in form? „Letztlich lässt sich die Topologie nur durch Messdaten herausfinden. Ansonsten wird man den einfachsten Räumen den Vorzug geben”, sagt Lustig. „Es kann natürlich sein, dass das Universum eine komplizierte Topologie hat, es aber so groß ist, dass sich diese nicht in den Daten abzeichnet. Dann werden wir die Gestalt des Weltraums wohl nie herausfinden. Genau deshalb müssen wir in den Messungen nach Indizien suchen. Denn wer ein bestimmtes Modell favorisiert, hat auch die Nachweispflicht.” Noch rätseln die Kosmologen, wie gut in Form der Weltraum ist und welche Form genau er besitzt. Unendlich groß muss das Universum aber keineswegs sein. Das haben die neuen Methoden und Erkenntnisse bereits gezeigt und Albert Einsteins Skepsis bestätigt. Aber sie haben auch bewiesen, dass der Mensch zuweilen doch klüger ist, als der große Physiker dachte. ■ von Rüdiger Vaas In den Trichter gekommen Wenn der Weltraum negativ gekrümmt ist, könnte er wie ein Horn geformt sein. Genauer: Er wäre das dreidimensionale Analogon zu der zweidimensionalen Oberfläche dieses Gebildes. An der Spitze ist dieser „Picard-Trichter” unendlich lang, und er wird immer dünner, sodass sein Volumen endlich groß ist. Die Seiten des Trichterrands sind topologisch identisch: Könnte ein Raumschiff dorthin reisen, würde es schnurstracks an der gegenüberliegenden „ Seite” zurückfliegen. Es gibt also keinen „Rand”, an den man stoßen könnte – schwer nachvollziehbar für die alltägliche Anschauung, aber mathematisch präzise. Gehörntes Universum Wenn der Weltraum negativ gekrümmt ist, könnte er die Form eines Trichters oder Horns haben. Ein solches Weltmodell wurde von den Kosmologen Dmitri Sokolov und Alexei Starobinsky beschrieben. 1997 haben Computersimulationen es widerlegt: Sie zeigten, dass die Temperatur der Kosmischen Hintergrundstrahlung in Richtung des Trichterschlunds denselben Wert besitzt (oben) – im Gegensatz zu den winzigen Variationen um ein paar Hunderttausendstel Grad, die überall sonst am Himmel gemessen werden. Doch ein so großer Fleck gleicher Temperatur wurde nicht gefunden. Inzwischen hat sich herausgestellt, dass die Simulationen zu stark vereinfacht waren. Rechnet man genauer, verschwindet der Fleck, und die simulierte Temperaturverteilung der Hintergrundstrahlung (unten) stimmt gut mit den bislang besten Messungen überein. Die beiden simulierten Karten zeigen die gesamte „Himmelshohlkugel” zweidimensional ausgerollt (blauer ist kühler). Gut zu wissen: Topologie Wer kann eine Kugel nicht von einem Teller unterscheiden? Antwort: ein Topologe. Tatsächlich sind Kugel und Teller topologisch identisch (fachsprachlich: homöomorph) – auch mit einem Weinglas oder einem Bleistift. Die Topologie, früher Analysis situs („Lageuntersuchung”) genannt, ist ein grundlegendes Teilgebiet der Mathematik. Es ist mit der Geometrie verwandt, abstrahiert jedoch von Maßangaben wie Streckenlängen und Winkeln sowie von allen Eigenschaften, die sich etwa durch Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren oder Verdrillen ändern. Es wird also nur das betrachtet, was alle kontinuierlichen Verformungen übersteht. Das ist vor allem die Zahl der Löcher eines Objekts. Kugel und Teller besitzen kein Loch – und somit das topologische Geschlecht Null. Ein Ring oder eine einhenkelige Tasse – die homoömorph sind – haben dagegen genau ein Loch (Geschlecht 1). Sie sind folglich topologisch etwas anderes als ein Brillengestell (Geschlecht 2) oder eine Brezel (Geschlecht 3), denn sie können nicht kontinuierlich durch Verformungen ineinander überführt werden. Eine Veränderung der Topologie erfordert also ein Durchbohren, Aufschneiden oder Zusammenkleben des Objekts. Der Begriff „Topologie” (von griechisch „topos” für Ort und „logos” für Lehre) wurde 1847 von dem Göttinger Mathematiker Johann Benedict Listing in seinem Buch „Vorstudien zur Topologie” geprägt; er hatte ihn in seiner Korrespondenz aber schon einige Jahre vorher verwendet. Als erste topologische Arbeit (und zugleich als Begründung der Knotentheorie) gilt Leonhard Eulers Beweis von 1736, dass es unmöglich ist, so über die sieben Brücken der Stadt Königsberg zu gehen, dass jede Brücke exakt einmal überschritten wird. Beim Spaziergang durch die ostpreußische Stadt muss mindestens eine der Brücken zweimal überquert werden. Topologie beschränkt sich nicht auf die Charakterisierung konkreter Objekte, sondern beschreibt auch Räume. Das Konzept des topologischen Raums wurde 1914 erstmals von Felix Hausdorff definiert, allerdings unvollständig, und in seiner heutigen Bedeutung 1922 von Kazimierz Kuratowski formuliert. Inzwischen ist dieses Konzept nicht nur in der abstrakten Mathematik angesiedelt, sondern kennzeichnet sogar ganze Universen. Eine Kleine RaumKunde Dreidimensionale topologische Räume können anhand verschiedener Eigenschaften charakterisiert werden: Sie sind · unendlich groß oder endlich (und somit oft „kompakt”, das heißt in allen Dimensionen ähnlich „klein”), · homogen (überall gleichförmig) oder inhomogen, · isotrop (in jede Richtung gleichartig) oder anisotrop, · einfach oder mehrfach verbunden (je nachdem, ob sich geschlossene Kurven, beispielsweise ein Kreis, ohne Zerschneiden zu einem Punkt zusammenziehen lassen oder nicht), · orientierbar (beliebige Bewegungen ändern die Händigkeit nicht – ein linker Handschuh wird beispielsweise nicht zum rechten) oder nichtorientierbar, · und global euklidisch („flach”), sphärisch oder hyperbolisch. Es gibt genau 18 topologisch verschiedene euklidische Räume. 10 davon sind kompakt, 8 nicht. 10 sind orientierbar, 4 kompakte und 4 nichtkompakte sind es nicht. Homogen und isotrop ist nur der einfach verbundene unendliche Raum. Homogen, aber anisotrop ist die einfachste kompakte Raumform, der Hypertorus, genau wie 2 nichtkompakte Räume. Die übrigen 14 sind inhomogen. Es existieren unendlich viele sphärische Räume. Sie wurden bis 1932 vollständig klassifiziert. Homogen und isotrop sind nur die Hypersphäre und der sogenannte projektive Raum. Alle anderen sind anisotrop und entweder homogen oder inhomogen. Es gibt auch unendlich viele hyperbolische Räume. Sie sind bis heute nicht vollständig klassifiziert. Nur einer davon ist homogen und isotrop: der einfach verbundene unendlich große. Alle anderen sind global inhomogen und anisotrop. KOMPAKT · Fläche, Kugel, Sattel – es gibt nur drei derartige Krümmungen für dreidimensionale Räume, jedoch unendlich viele Formen ihrer Realisierung. · Vielleicht ist das All viel kleiner als bislang gedacht, aber wie ein Spiegelkabinett beschaffen, und ähnelt entfernt einer Vuvuzela oder einem Fußball.