Welt aus Wellen

Erwin Schrödinger (1887 bis 1961): Er formulierte 1926 die grundlegende Gleichung der Wellenmechanik, bis heute das zentrale Ingredienz der Quantentheorie. · Foto: © Wikimedia Commons / Nationales Digitales Archiv Polen (Sign. 3/1/0/17/939)

Revolution mit Hindernissen

Die – später sogenannte alte – Quantentheorie wurde wesentlich von Max Planck (ab 1899), Albert Einstein (ab 1905) und Niels Bohr (ab 1913) begründet sowie von Arnold Sommerfeld weiter verfeinert und in seinem Klassiker „Atombau und Spektrallinien“ zusammengefasst. Sie war revolutionär, blieb aber in einer Sackgasse stecken, insofern sie viele physikalische Daten nicht zu erklären vermochte – auch nicht mit so obskuren Vorstellungen wie den Tauchbahnen. Diese schwere Krise wurde in der zweiten Hälfte des Jahres 1925 überwunden: In Göttingen gelang es Werner Heisenberg, Max Born und Pascual Jordan in einem großen Wurf, eine neue Quantentheorie auszuarbeiten (BDW 7/2025, „Heureka auf Helgoland“). Sie wurde mithilfe von Matrizen formuliert, damals noch ungewohnten mathematischen Werkzeugen, und daher als Matrizenmechanik bekannt. In Zusammenarbeit mit der Gruppe um Niels Bohr in Kopenhagen und mit Wolfgang Pauli in Hamburg zeigte sich schnell, wie leistungsfähig die neue Theorie ist.

Nun ließen sich experimentelle Messungen beschreiben, die sich bislang einem Verständnis entzogen hatten. Doch der Formalismus war äußerst abstrakt und unanschaulich sowie dezidiert positivistisch: Er behandelte lediglich die Beziehung zwischen Observablen, also beobachtbaren Größen wie den Wellenlängen und Intensitäten von Spektrallinien. Was genau dabei in der atomaren Welt vor sich ging, war kein Thema. Es wurde nicht nur ausgeblendet, sondern sogar in seiner Sinnhaftigkeit bestritten.

Für die meisten Physiker war das schwere, unverdauliche Kost oder unverständlich: abstrakte Übergangsamplituden, nichtkommutative Matrizen und Rechenregeln, die nichts mehr mit den vertrauten Vorstellungen von Raum und Zeit zu tun haben schienen. Schrödingers neuer Ansatz änderte dies. Er war zumindest anschlussfähig, was die klassische Physik betraf, obschon daraus nicht ableitbar; er suggerierte Anschaulichkeit und verwies auf eine zugängliche – wenn auch seltsame – Wirklichkeit.

In der persönlichen Korrespondenz erfuhr Schrödingers Leistung daher rasch Anerkennung und große Bewunderung: „Ich lese Ihre Abhandlung, wie ein neugieriges Kind die Auflösung eines Rätsels, mit dem es sich lange geplagt hat, voller Spannung anhört, und freue mich an den Schönheiten, die sich dem Auge enthüllen“, schrieb Planck am 2. April an Schrödinger auf einer Postkarte und setzte sich bald darauf erfolgreich ein, dass dieser eineinhalb Jahre später sein Nachfolger in Berlin werden konnte. Mit „einem Schlage“ habe Schrödinger sich „in die vorderste Reihe derjenigen Physiker gestellt, die gegenwärtig an dem Ausbau der Quantentheorie arbeiten“, meinte Planck zudem in einer Rezension der Wellenmechanik-Abhandlungen. „Diese Entdeckung besteht kurz gesagt in dem Nachweis eines neuen tiefgehenden Zusammenhangs der Quantenmechanik mit der klassischen Mechanik“.

„Vielleicht gelingt es nun doch, dem Quantenproblem, das schon ganz hoffnungslos aussah, zu Leibe zu gehen“, freute sich auch Wien. Sommerfeld sprach sogar von einem „Donnerschlag“, einem „Ersatz der neuen Quantenmechanik“ von Heisenberg und Born. Ähnlich Einstein: „Ich bin überzeugt, dass Sie mit Ihrer Formulierung der Quantenbedingung einen entscheidenden Fortschritt gefunden haben, ebenso wie ich überzeugt bin, dass der Heisenberg-Bornsche Weg abwegig ist.“

Bei der Nobelpreis-Zeremonie 1933 in Stockholm: Schrödinger (links) und sein freundschaftlicher Kontrahent Heisenberg, dazwischen der König von Schweden. · Foto: © MPI für Physik / AIP Emilio Segrè Visual Archives

Riesige Resonanz

Was im Rückblick als Geniestreich erscheint, war eine schwierige Geburt, ein tastender Vorstoß ins Unbekannte, ein teils verworrener, durch Selbstkorrekturen und Interpretationszweifel geprägter Anfang. Auch kam der bald als Undulations- oder Wellenmechanik bezeichnete neue Ansatz nicht auf einen Schlag, sondern wurde von Schrödinger im Lauf eines halben Jahres formuliert. Seine vier Fachartikel bauen zwar aufeinander auf, sind aber – wie er selbst zugab – zugleich ein Zeugnis seiner Suche: keine systematische, didaktisch geordnete Lehrbuchdarstellung, sondern eine theoretische Exploration des gerade Möglichen, ohne jeweils die Fortsetzung zu kennen. Bei keiner seiner Abhandlungen war Schrödinger klar, was genau in der nächsten folgen würde. Tatsächlich steht die Krönung seines Schaffens, die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung, erst in der vierten. Seine zeitunabhängige Gleichung, die er in der ersten Abhandlung publizierte, erwies sich als ein Spezialfall für stationäre Systeme.

Flankiert wurde die Entwicklung stets durch empirische Erfolgskontrollen: Schrödinger selbst sowie dann auch mehrere Kollegen konnten mit dem neuen Formalismus immer mehr Quanteneffekte erklären: sowohl solche, die bereits im Rahmen der Matrizenmechanik behandelt worden waren, als auch Messdaten, die zwar seit vielen Jahren bekannt waren, sich jedoch bislang einem mathematisch-physikalischen Verständnis widersetzt hatten.

Schrödingers Arbeiten stießen in der Fachwelt deshalb sofort auf großes Interesse. Allerdings war die Resonanz ambivalent. Einerseits wurde die Wellenmechanik gefeiert als Überwindung und Fortsetzung der klassischen Physik mit neuen Mitteln. Andererseits sorgte sie im Umkreis von Born und Bohr für Skepsis und sogar Ablehnung, weil sie den Grundzügen der neuen Quantenphysik zu widersprechen schien: der radikalen Zufälligkeit (Indeterminismus), den Quantensprüngen (Diskontinuitäten) sowie der Unanschaulichkeit, die mit der Beschränkung auf bloße Beobachtungen einherging (Positivismus).

Die Schrödinger-Gleichung ist deterministisch, also kausal interpretierbar ohne Platz für absolute Zufälle. Demnach entwickelt sich ein Quantensystem – das von einer mit dem griechischen Buchstaben ψ (psi) bezeichneten Wellenfunktion charakterisiert wird – ausgehend von bestimmten Randbedingungen eindeutig. Die Gleichung beschreibt die atomaren Vorgänge als ein Kontinuum: als Dynamik von und in Feldern ohne lücken- oder sprunghafte, genuin diskrete Ereignisse. Dieses Konzept lässt sich als eine Welt voller Wellen interpretieren, deren Verdichtungen („Wellenpakete“) als Teilchen erscheinen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen entsprechen. Das ist kein Billardkugel-Materialismus, aber doch etwas objektiv Reales; es widersprach Heisenbergs Auffassung, dass die Bahn eines Elektrons eigentlich nicht existiert oder quasi erst durch die Beobachtung entsteht.

Dieser konservative, kausale, realistische Aspekt der Wellenmechanik brachte ihr bei älteren Physikern wie Planck, Einstein, Sommerfeld und Wien sofort große Sympathiepunkte ein – aber zugleich die Opposition von Bohr, Born, Heisenberg, Jordan und Pauli.

Schrödinger bei einem Vortrag 1933 über Quantentheorie: Er sprach, wie der Tafelaufschrieb zeigt, über Heisenberg und die Kausalität – ein Thema heftiger Kontroversen damals wie heute. · Foto: © Keystone-France / Gamma-Keystone via Getty Images

„Züricher Lokalaberglaube“

Er habe „die stärksten Zweifel an der Durchführbarkeit einer konsequenten reinen Kontinuums-Feld-Theorie“, gestand Pauli Schrödinger in einem Brief vom 24. Mai. „Man muss wahrscheinlich doch auch wesentlich diskontinuierliche Elemente in die Beschreibung der Quantenphänomene einführen.“ Später kritisierte er die Wellenmechanik sogar öffentlich als „Züricher Lokalaberglauben“. Und Bohr versuchte Schrödinger bei dessen Besuch in Kopenhagen Anfang Oktober ebenfalls von der Notwendigkeit von Quantensprüngen zu überzeugen. Auch Heisenberg, der damals Bohr sekundierte und zuvor mit Kritik bei einem Vortrag Schrödingers im Juli in München für Ärger sorgte, war nicht begeistert: „Je mehr ich über den physikalischen Teil der Schrödingerschen Theorie nachdenke, desto abscheulicher finde ich ihn“, teilte er schon am 8. Juni 1926 Pauli mit. „Was Schrödinger über Anschaulichkeit seiner Theorie schreibt [...], ich finde es Mist.“

Allerdings war die Kontroverse vor allem ein Streit um Worte, Konzepte, Deutungen und Philosophie. Trotz ihrer Unterschiede sind die Matrizen- und Wellenmechanik mathematisch nämlich weitgehend äquivalent. Das bewies Schrödinger in seinem Artikel „Über das Verhältnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen”, der bereits am 18. März 1926 bei den Annalen der Physik einging. Trotz „der außerordentlichen Verschiedenheit der Ausgangspunkte und Vorstellungskreise“ bestünde vom „formal mathematischen Standpunkt“ eine „Identität“, schrieb Schrödinger. Unabhängig von ihm kamen Wolfgang Pauli und der amerikanische Physiker Carl Eckart zur selben Schlussfolgerung.

Obwohl die konkurrierenden Ansätze also zwar konzeptuell völlig anders aufgebaut sind sowie ganz unterschiedliche Sichtweisen auf die Welt und die Art ihrer Beschreibung liefern, sind sie mathematisch direkt ineinander übersetzbar, in ihrer Erklärungskraft identisch beziehungsweise hinsichtlich der experimentellen Voraussagen und Daten zur Überprüfung nicht unterscheidbar; sie sind, wie sich einige Jahre später zeigte, Darstellungen derselben abstrakten mathematischen Struktur: einer auf Hilbert-Räumen basierenden Quantentheorie. Deshalb liefern beide Ansätze dieselben Spektrallinien, Streuquerschnitte, Zerfallsraten, Energieeigen- und Erwartungswerte, Korrelationsfunktionen, Übergangswahrscheinlichkeiten und so weiter. (Das gilt unter geeigneten Voraussetzungen zumindest für Quantensysteme mit endlich vielen Freiheitsgraden, nicht aber allgemein für die umfassenderen Quantenfeldtheorien mit unendlich vielen.) Stationäre Zustände und Operatoren werden dabei in beiden Ansätzen mathematisch unterschiedlich formuliert, beschreiben aber dieselben physikalischen Zustände, Observablen und algebraischen Beziehungen, etwa dieselben Vertauschungsrelationen (die Abhängigkeit quantenmechanischer Operationen von ihrer Reihenfolge).

Ein Pyrrhussieg

Doch der Vorteil der Anschaulichkeit von ψ erwies sich als Pyrrhussieg. Denn die Wellenfunktion beschreibt allenfalls isolierte einzelne Teilchen oder Wellenpakete in einem dreidimensionalen physikalischen Raum. Für ein System mit n Partikeln erfordert sie hingegen einen 3n-dimensionalen Konfigurationsraum. Darauf wies Hendrik A. Lorentz, Nobelpreisträger und Doyen der Theoretischen Physik, Schrödinger bereits in einem Brief vom 27. Mai aus Haarlem hin. Er bewunderte zwar den „Scharfsinn“ von Schrödingers Wellenmechanik, bei der ihm „ein Licht aufgegangen“ sei. Doch bei Systemen mit mehreren Freiheitsgraden könne man Wellen und Schwingungen „nicht physikalisch deuten“.

Auch ein anderes Problem erkannte Lorentz sofort: „Aber ein Wellenpaket kann nie auf die Dauer zusammenhalten und auf einen kleinen Raum beschränkt bleiben.“ Es müsse sich „in der Fortpflanzungsrichtung auseinanderziehen und […] in der Querrichtung immer mehr verbreiten. Wegen dieser unvermeidlichen Verwischung scheint mir ein Wellenpaket wenig geeignet, Dinge zu repräsentieren, denen wir eine einigermaßen dauerhafte individuelle Existenz zuschreiben wollen.“ Zudem sei es „wohl viel verlangt, dass ein Wellenpaket, einmal verwischt, sich wieder zusammenballen soll.“

Formel für die Ewigkeit: Das Grab von Erwin Schrödinger und seiner Frau Annemarie im österreichischen Alpbach, Tirol, ziert die Schrödinger-Gleichung in ihrer komprimiertesten Form. · Foto: © Wikimedia Commons / Karl Gruber (CC BY-SA 3.0)

Schrödinger berechnete zwar, dass die Wellenpakete in Spezialfällen zusammenbleiben. So kann man Elektronen als sogenannte stehende Wellen um Atomkerne auffassen. (Dabei sind nur bestimmte Wellenlängen möglich, weil es sonst zur destruktiven Interferenz käme – eine anschauliche, wenn auch nicht unproblematische Erklärung der von Bohr 1913 postulierten streng voneinander getrennten Elektronenbahnen mit Quantensprüngen von einer zur anderen.) Allerdings gilt das nicht allgemein. Freie, infolge spezifischer Randbedingungen konzentrierte Wellenpakete müssten rasch auseinanderfließen.

Mithilfe der Schrödinger-Gleichung lässt sich die Größenordnung einschätzen: Für ein Elektron mit der Energie von 100 Elektronenvolt verdoppelt sich die Ausdehnung eines Wellenpakets mit einer Anfangsbreite von einem Nano-, Mikro- und Millimeter in nur etwa 30 Femto-, Nano- und Millisekunden; währenddessen bewegt sich das freie Elektron um rund 0,18 Mikrometer, 18 Zentimeter beziehungsweise 180 Kilometer vorwärts. Schwere oder energiereiche Partikel zerfließen relativ langsam, leichte schnell und stark lokalisierte extrem schnell.

Die Schwierigkeiten wurden noch im selben Jahr zwar nicht gelöst, aber gewissermaßen umgangen. Am 25. Juni 1926 reichte Max Born einen Artikel in der Zeitschrift für Physik ein, in der er seine statistische Deutung der Wellenfunktion vorstellte (dafür erhielt er 1954 den Physik-Nobelpreis). Demnach hätte ψ selbst keine unmittelbare physikalische Bedeutung. Doch das Quadrat des Betrags der Wellenfunktion, |ψ|², entspricht einer Wahrscheinlichkeit – beispielsweise der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte: also ein Teilchen an einem bestimmten Ort zu einer bestimmten Zeit zu finden.

Diese statistische Deutung, die im Folgejahr von Heisenbergs Unschärferelation untermauert wurde (BDW 7/2025, „Unscharf, aber stabil“), hat sich in der experimentellen Praxis glänzend bewährt. Seither können Physiker mit den Wellenfunktionen hantieren, Daten vorhersagen und überprüfen, mit immer aufwendiger werdenden Computersimulationen komplexe chemische Fragestellungen lösen und die Synthese neuer Stoffe berechnen. Die Schrödinger-Gleichung ermöglicht Erklärungen und Voraussagen zu subatomaren Partikeln und Prozessen, den Eigenschaften äußerst unterschiedlicher Typen von Materialien wie Isolatoren, Metallen, Halb- und Supraleitern sowie chemischer Elemente, Verbindungen und Reaktionen, aber auch der Stabilität der Materie überhaupt.

Trotzdem ist die Bedeutung der ψ-Funktion unter Physikern wie auch Philosophen bis heute heftig umstritten – genau wie die Interpretation der Quantentheorie insgesamt. Es gibt zahlreiche Sichtweisen, die sich größtenteils gegenseitig ausschließen.

Elektronen lassen sich nicht auf einen einzigen Ort festlegen. Das ist eine zentrale Erkenntnis der Quantentheorie. An die Stelle des Ortes tritt die Wellenfunktion. Diese mathematische Größe enthält die Informationen über das Teilchen, kann aber nicht direkt gemessen werden. Einem Team um Wiebke Bennecke von der Universität Göttingen ist es nun gelungen, die Wellenfunktion eines nanometergroßen organischen Moleküls dreidimensional abzubilden, wie 2026 in der Fachzeitschrift nature communications berichtet. Das Kunststück glückte mithilfe der Photoelektronenspektroskopie in einer Auflösung feiner als der Abstand zweier Kohlenstoff-Atome. Dies geschah mit einer Röntgenquelle, die auf einen Labortisch passt. Ihre ultrakurzen Pulse lösten Elektronen aus dem Material, deren Impuls Rückschlüsse auf die Wellenfunktion ermöglichte. Damit könnte bald stroboskopische Videografie Wirklichkeit werden, sodass sich nicht nur die Form von Wellenfunktionen abbilden lässt, sondern auch deren Veränderung mit einer Zeitauflösung von Billiardstel Sekunden. · Foto: © Illustration: Lukas Kroll

Rätselhafte Realität der Wellenfunktion

Die Hauptfrage ist, ob man ψ ontologisch auffassen soll, also bezogen auf das Sein oder die Realität, oder aber epistemisch, also unser Wissen betreffend. Im ersten Fall repräsentiert ψ etwas Reales (aber was?) oder ist sogar selbst die eigentliche Realität beziehungsweise zumindest ein essentieller Teil von ihr. Im zweiten Fall codiert ψ unser Wissen (aber von was?), ist ein praktisches Werkzeug für Beschreibungen und erlaubt Voraussagen zu Experimenten. Letzteres ist unumstritten. So deutete bereits Sommerfeld im 1929 erschienenen „Wellenmechanischen Ergänzungsband“ seines Lehrbuchs „Atombau und Spektrallinien“ die ψ-Funktion als „eine mathematische Hilfsgröße“. Doch auch die epistemische Auffassung ist vieldeutig. Im einen Extrem entspricht Wissen objektiven Informationen, die dann wieder auf eine objektive Realität verweisen oder teilweise als eine solche gedeutet werden, bisweilen sogar als eine eigenständige, die nicht materiell oder energetisch sei. Im anderen Extrem geht es lediglich um Wahrscheinlichkeiten, denkbare Möglichkeiten oder subjektive Schätzungen, also gewissermaßen um die Neigung, auf oder gegen bestimmte Messresultate zu wetten. Die radikalste Version nimmt sogar an, dass jeder gleichsam solipsistisch in seiner eigenen Welt lebt und dass keine gemeinsame oder autonome Realität existiert.

Selbst Forscher, die ihre ganze Karriere der Quantentheorie widmen, können sich also seit nunmehr einem Jahrhundert nicht auf deren grundlegendste Konzepte einigen, obwohl dabei die eigentliche wissenschaftliche Praxis – Experimente und Berechnungen – kaum betroffen ist. Wie heterogen und gespalten die Experten sind, weit mehr als in jedem anderen Gebiet der Physik, zeigte jüngst Elizabeth Gibney von der Fachzeitschrift nature mit einer Meinungsumfrage unter 15.000 Quantenphysikern. Das ist bislang die größte derartige Studie, obwohl nur 1.101 antworteten. Die Resultate, 2025 veröffentlicht, verschärfen die Heterogenität noch, die bereits aus früheren Erhebungen belegt ist.

Bemerkenswerterweise votierten nur noch 36 Prozent für die Kopenhagener Deutung – die orthodoxe Lehrbuchmeinung beziehungsweise Interpretation von Bohr und Heisenberg –, und selbst davon gab sich nur die Hälfte zuversichtlich, die anderen waren unsicher. Besonders ablehnend waren Wissenschaftsphilosophen. Die Wellenfunktion betrachteten 47 Prozent der Befragten als ein mathematisches Werkzeug zur Vorhersage experimenteller Resultate und deren Wahrscheinlichkeit; 19 und 17 Prozent hielten sie für eine partielle beziehungsweise komplette Repräsentation der Realität, jeweils 8 Prozent für eine subjektive Beschreibung der eigenen Überzeugungen oder für etwas anderes, 2 Prozent hatten keine Meinung.

Bis ans Lebensende lehnte Schrödinger, wie de Broglie und Einstein, die Kopenhagener Deutung ab. Er liebäugelte mit einer holistischen Weltauffassung und einer realen Entsprechung seiner ψ-Funktion, obwohl er keine guten Argumente gegen ihren hochdimensionalen mathematischen Raum und das Zerfließen der Wellenpakete hatte. Doch dass es keine eindeutige Quantenrealität unabhängig von Messungen geben soll, welche erst die Wahrscheinlichkeitsverteilung der ψ-Funktion beziehungsweise die Fülle der Möglichkeiten zu einem bestimmten Faktum kollabieren lassen, war ihm ein Graus – genau wie die subjektivistische Interpretation der Wahrscheinlichkeiten. Noch in seinen letzten Jahren publizierte Schrödinger darüber und tauschte sich kritisch mit Kollegen wie Born und Pauli aus.

Im Februar 1960 beschwerte sich Schrödinger bei Born über die „Unverfrorenheit“, mit der dieser immer wieder versichere, „die Kopenhagener Auffassung sei praktisch allgemein angenommen […], als hättet Ihr Leute die wiederholte emphatische Feststellung zur Stärkung Eurer eigenen Zuversicht nötig“. Und er kritisierte noch einmal die antirealistische Einstellung. Eine objektive oder zumindest intersubjektive Physik sollte sich auf die Außenwelt beziehen, nicht auf subjektive Schätzungen. „Die Kopenhagener Physik übersieht das Kriterium der Gemeinsamkeit gänzlich“ und sei geradezu „ein Spott darauf“, schrieb er an Born. Die Gemeinsamkeit, „das Grundwunder unseres Daseins“, und die „Übereinstimmung, einander mitzuteilen“, darf in der Wissenschaft nicht verlorengehen; aber genau dies droht durch die antirealistischen oder rein instrumentalistischen Auffassungen der Quantentheorie. Schrödinger pointierte es so: „Beispiel: ein paar Freunde gehen nachts heim. Einer sagt: Seht doch wie sonderbar, der Mond ist (dreifach). Sehen es die anderen alle auch, so ist es real. Wenn nicht, wird man ihm empfehlen, zum Augenarzt zu gehen.“ ■

Musik der Materie

Versetzt man dünne, mit Sand bestreute Metallplatten in Schwingungen, wandert der Sand von den Vibrationen weg zu Stellen, die nicht oder schwächer schwingen. Das macht die Knotenlinien stehender Wellen sichtbar, die sich auf den Platten bilden. Die Idee geht auf den Physiker und Musiker Ernst Florens Friedrich Chladni zurück, der sie 1787 in seiner Schrift „Entdeckungen über die Theorie des Klanges“ publizierte. Darin stellte er die Muster dar, die er erzeugt hatte, indem der die Platten mit einer angeregten Stimmgabel berührte oder an den Kanten mit einem Geigenbogen bestrich. Erwin Schrödinger erblickte darin eine Analogie zu seiner Wellenmechanik. Die „Ganzzahligkeiten im Atom haben ungefähr denselben Grund wie die harmonischen Obertöne einer schwingenden Saite“, schrieb er am 26. Februar 1926 an Max Planck. „Ich meine selbstverständlich nicht, dass nun alles wieder mit gewöhnlicher Mechanik zu klären sei, dass etwa jene ψ-Schwingungen Massenschwingungen im Sinne der gewöhnlichen Mechanik sind. Im Gegenteil: Sie oder etwas ihnen Ähnliches scheint aller Mechanik und Elektrodynamik zugrunde zu liegen.“ Seinem Freund Hans Thirring gegenüber bemerkte er am 17. März, die „intellektuelle Lage“ der Autoren der Matrizenmechanik sei hingegen „die eines Menschen, der die Amplituden und Phasen einer gezupften Saite berechnen gelernt hat, aber noch nicht weiß, dass sie sich zu den wohlbekannten anschaulichen Bildern zusammensetzen lassen“. Und an Max Planck schrieb er sechs Tage zuvor, man müsse „bedenken, dass diese kunstvollen Strömungslinien sich aus einer einfachen partiellen Differentialgleichung mit derselben Zwangsläufigkeit ergeben, wie die kunstvollen Systeme von Knotenlinien auf einer Chladnischen Platte“.

Die Schrödinger-Gleichung

Erwin Schrödinger entwickelte 1926 eine weitreichende Theorie, die die Materie mithilfe von Wellenfunktionen (ψ) beschreibt. Die ψ-Funktion eines Quantenobjekts charakterisiert dessen Zustand. Wellenfunktionen spielen die zentrale Rolle in der von Schrödinger formulierten komplexen linearen partiellen Differentialgleichung. Diese avancierte rasch zur Grundgleichung der Quantentheorie – jedenfalls in ihrer wellenmechanischen Version. Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung beschreibt, wie sich die Wellenfunktionen ändern – und damit Vorgänge wie die Ausbreitung, Streuung, Interferenz und manche Zerfallsprozesse von Teilchen. Für ein einzelnes Quantenobjekt (nichtrelativistisch, ohne Berücksichtigung von Spin und magnetischem Vektorpotential) lautet sie: iħψ(r,t)/t = Ĥψ(r,t).

Die Naturkonstante ħ ist das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum, i die imaginäre Einheit (definiert über i² = –1). ψ hängt vom Ort r ab sowie von der Zeit t. kennzeichnet eine partielle Ableitung, hier die erste von ψ nach der Zeit an einem festen Ort, also die lokale zeitliche Änderungsrate. Ĥ = –ħ²²/2m + V(r,t) ist der quantenmechanische Hamilton-Operator. Operatoren sind mathematische Vorschriften, die aus einer Funktion eine andere machen. Der Laplace-Operator ² = ²/x² + ²/y² + ²/z² bezeichnet die Summe der zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion nach den Raumrichtungen mit den Koordinaten x, y und z; hier beschreibt er gleichsam die Wölbung von ψ an einem Ort r. (Eine stark gekrümmte ψ-Funktion kann eine kurze Wellenlänge und damit beispielsweise eine große Bewegungsenergie bedeuten.)

Ĥ repräsentiert die Gesamtenergie des Quantensystems und bestimmt dessen zeitliche Entwicklung. Der Differentialoperator –ħ²²/2m bezeichnet den kinetischen Anteil und der Multiplikationsoperator V(r,t) den potentiellen Anteil. Hier besteht eine Analogie zur Hamilton-Funktion H(r,p,t) = p²/2m + V(r,t); mit ihr hatte William Rowan Hamilton in den 1830er-Jahren die klassische Mechanik reformuliert. Für die Bewegungsenergie mit dem Impuls p = mv und die Lageenergie mit einem zeitunabhängigen Potential V(r) bleibt die Gesamtenergie E = p²/2m + V(r) erhalten. m steht für die Masse und v für die Geschwindigkeit. Die Schrödinger-Gleichung ist gewissermaßen eine Bewegungsgleichung für ψ; Ĥ fungiert dabei als Generator der Zeitentwicklung eines Quantenzustands, ähnlich wie Isaac Newtons Bewegungsgleichungen die Entwicklung eines klassischen mechanischen Systems bestimmen.

Hängen V und somit auch Ĥ nicht explizit von der Zeit ab, lässt sich die von Schrödinger zuerst gefundene zeitunabhängige Gleichung Ĥψ(r) = Eψ(r) ableiten. Sie ist keine Entwicklungsgleichung, sondern bestimmt die räumlichen Anteile stationärer Zustände und beschreibt ein sogenanntes Eigenwertproblem: Gefragt wird, welche Zustände eine wohldefinierte Energie besitzen und welche Energiewerte dabei möglich sind. ψ(r) ist die Eigenfunktion von Ĥ und E der zugehörige Energieeigenwert. Diese Gleichung liefert zum Beispiel für das Wasserstoff-Atom die diskreten Energieniveaus der gebundenen Zustände des Elektrons. Dessen Orbitale sind unabhängig von der Zeit, weil sich bei einem stationären Zustand die messbare räumliche Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht ändert. Überlagerungen von Energieeigenzuständen mit unterschiedlichen Energien können hingegen zu beobachtbaren Interferenzeffekten führen.

Die Schrödinger-Gleichung fand rasch zahlreiche Anwendungen. So formulierte Øyvind Burrau bei Niels Bohr in Kopenhagen 1927 eine erste wellenmechanische Lösung für das Wasserstoff-Molekülion H₂⁺. Im gleichen Jahr gelang es Walter Heitler und Fritz London, Forschungsstipendiaten im Umfeld Schrödingers an der Universität Zürich, die chemische Bindung zu verstehen. Sie behandelten das einfachste Molekül, den molekularen Wasserstoff H₂ , mit einer Näherungsmethode und erklärten mit Zwei-Elektronen-Wellenfunktionen, wie eine stabile Atombindung entsteht. Damit hatten sie die Quantenchemie mitbegründet. Der Ansatz wurde in den darauffolgenden Jahren zur Valenzbindungstheorie erweitert, auch für komplexere Moleküle. Ab 1928 berechnete Egil Hylleraas, zunächst an der Universität Göttingen bei Max Born, die Grundzustandsenergie des Helium-Atoms mit immer genaueren Näherungslösungen in exzellenter Übereinstimmung mit den Messdaten. 1929 entwickelte Philip Morse in Princeton, New Jersey, ein Modell für zweiatomige Moleküle, das deren Schwingung und mögliches Auseinanderbrechen verständlich machte. Und Felix Bloch wandte 1928 bei Werner Heisenberg in Leipzig die Schrödinger-Gleichung auf Elektronen in Kristallen an: eine Grundlage der quantenmechanischen Beschreibung von Festkörpern. Im selben Jahr erklärte George Gamow in Göttingen den radioaktiven Alpha-Zerfall durch einen quantenmechanischen Tunneleffekt; unabhängig von ihm taten dies auch Ronald W. Gurney und Edward U. Condon an der Princeton University.

Von Schrödinger zum ganzen Universum

Auch wenn die Schrödinger-Gleichung in vielen Anwendungsfällen der Physik und Chemie bis heute nach wie vor eine prominente Rolle spielt und in der Praxis ausreicht, ist sie kein fundamentales Naturgesetz. Vielmehr stellt sie ein Übergang oder Grenzfall zu einer umfassenderen Theorie dar. Denn sie berücksichtigt weder die Effekte der Speziellen Relativitätstheorie für fast lichtschnelle Bewegungen, etwa der Elektronen, noch kann sie alle Phänomene der Quantenwelt beschreiben.

Das war Schrödinger von Anfang an bewusst. Tatsächlich arbeitete er zunächst sogar an einer relativistischen Version der Gleichung, scheiterte jedoch daran und veröffentlichte sie nicht. Dass hing auch damit zusammen, dass sie den messbaren Spin der Teilchen nicht berücksichtigte: eine Art Eigendrehimpuls der Teilchen. Dazu publizierten zuerst George E. Uhlenbeck und Samuel A. Goudsmit im November 1925 einen Artikel, den sie im niederländischen Leiden verfasst hatten. Diese fundamentale Quantengröße wurde schnell akzeptiert, auch von Schrödinger, der den Begriff (englisch für Drall) mitprägte.

Schon Ende 1927 gelang es Paul Dirac in Cambridge, eine erweiterte Version der Schrödinger-Gleichung zu formulieren, die sowohl mit der Speziellen Relativitätstheorie vereinbar ist als auch Phänomene wie den Spin zu beschreiben vermag. Der mathematische Apparat dahinter ist allerdings wesentlich komplexer und unanschaulicher. Diracs Gleichung bewährte sich rasch: besonders aufgrund seiner Voraussage zur Existenz von Antimaterie, deren erstes Beispiel – das Anti-Elektron oder Positron – bereits 1932 nachgewiesen wurde.

Auch dabei blieb es nicht. In den folgenden Jahrzehnten wurden noch viel allgemeingültigere Quantenfeldtheorien entwickelt. Allerdings wehen sie ebenfalls nicht am Ende der Fahnenstange physikalischer Erkenntnisse. Denn die Gravitation – und somit die Verbindung zur Allgemeinen Relativitätstheorie – ist bis heute ungeklärt. Es gibt zwar zahlreiche Vorschläge für eine solche Vereinheitlichte Feldtheorie, plakativ Weltformel genannt, nach der schon Albert Einstein mehr als drei Jahrzehnte lang vergeblich geforscht hatte. Aber bis jetzt konnte keine solche Hypothese empirisch validiert werden. Immerhin gelang es John A. Wheeler und Bryce DeWitt bereits 1967, eine Art Zwangsbedingung für die Wellenfunktion des ganzen Universums zu formulieren. Das ist spekulativ und allenfalls näherungsweise richtig, hat sich jedoch in der Quantenkosmologie und bei der Suche nach einer Theorie der Quantengravitation bewährt sowie viele neue theoretische Einsichten erbracht. Schrödingers epochale Gleichung ist also zwar nicht universell, aber in ihrer erweiterten Form der Wheeler-DeWitt-Gleichung auf eine Weise universalisierbar, wie er es sich bei aller Kühnheit seiner Imagination nicht hätte vorstellen können.

RÜDIGER VAAS ist Redakteur für Physik und Astronomie sowie Buchautor. Zuletzt erschienen „Jenseits von Einsteins Universum“ (erweiterte Neuauflage 2025) und „Der intelligente Kosmos“ (2026).

Selbst beim Zerfall von Higgs-Bosonen im stärksten Teilchenbeschleuniger der Welt entstehen quantenphysikalisch miteinander verschränkte Teilchen.