Der grosse Astronom Johannes Kepler machte seinem Freund Johann Matthäus Wacker von Wackenfels ein originelles Neujahrsgeschenk. Es war Neujahr 1611, also genau vor 400 Jahren. Kepler hatte eigens für von Wackenfels ein Buch geschrieben. Allein das ist originell – denn wer bekommt schon ein selbst geschriebenes Buch geschenkt? Und es passte auch noch zur Jahreszeit: Es hieß „Vom sechseckigen Schnee”.
Ein Gelegenheitswerk – aber eines, das 400 Jahre überdauern sollte. Denn Kepler, der von der sechseckigen Kristallform der Schneeflocken begeistert war, entdeckte, dass das Sechseck ein fundamentales Ordnungsprinzip der Natur ist. Das beschäftigt Mathematiker bis heute.
Bei Schneeflocken verbinden sich Regelmäßigkeit und Vielfalt. Alle Winkel sind 120 Grad oder 60 Grad groß. Man könnte glauben, dass es nur ganz wenige Sorten von Schneeflocken gibt, vielleicht sogar nur eine einzige. Aber das Gegenteil ist richtig: Es gibt eine Fülle verschiedener Flocken. Viele Menschen glauben sogar, dass keine Flocke der anderen gleicht – aber das ist natürlich schwer zu prüfen.
Kepler nutzte die Tatsache, dass Sechsecke stets entstehen, wenn man Kreise oder Kugeln aneinanderfügt. Das Grundprinzip können Sie sich leicht vorstellen: Nehmen Sie ein paar Ein-Euro-Münzen. Eine davon wählen Sie als Mitte und legen die anderen außen herum, sodass jede Münze die in der Mitte berührt. Dann werden Sie feststellen: Jede der äußeren Münzen berührt nicht nur die in der Mitte, sondern auch ihre Nachbarn.
Genauso entstehen Bienenwaben: Die Zellen der Waben werden nicht nur für den Honig, sondern auch zur Aufzucht der Bienen benutzt. In den Zellen werden die Larven großgezogen. Da die Larven im Querschnitt kreisförmig sind, geht es bei der Wabenherstellung darum, Kreise möglichst optimal zu packen. Dabei entsteht automatisch ein Sechseckmuster.
Sie können das bei den Münzen sehen: Wenn Sie zwischen je zwei Münzen die Grenze einzeichnen, erhalten Sie ein „Parkett” aus Sechsecken. „Parkette” nennen die Mathematiker eine lückenlose und überschneidungsfreie Überdeckung in der Ebene. Kepler war der Erste, der solche Parkette aus mathematischer Sicht untersuchte. Er stellte zum Beispiel fest, dass es nur drei reguläre Vielecke gibt, aus denen man ein Parkett herstellen kann: Das Quadrat mit dem schachbrettartigen Parkett, das Dreieck mit dem Parkett, das wie ein Halma-Brett aussieht, und das Sechseck mit den Bienenwaben.
In seinem Neujahrsgeschenk ging Kepler noch weiter: Er verließ die Ebene und untersuchte den Raum. Er fragte sich, wie dicht man Kugeln im Raum packen kann. Ein Problem, das jeder Obsthändler kennt.
Bei dieser Packung hat man noch mehr als bei den Münzen in der Ebene das Gefühl: „Es passt.” Ursprünglich dachte man, dass nur eckige Objekte wie Quadrate oder Würfel gut zusammengefügt werden können, aber die Keplersche Kugelpackung zeigt, dass auch runde Dinge sehr genau aneinander passen können. Das ist das Potenzial des Sechsecks: Es vermittelt zwischen eckigem lückenlosem „ Zusammenkleben” und rundem elegantem Sich-Berühren.
Die Keplersche Kugelpackung, die sogenannte hexagonale Gitterpackung, füllt fast drei Viertel des Raums aus – genau gesagt: einen Anteil von f + 18. Doch ob es sich dabei um die dichteste Kugelpackung handelt, ist trotz 400-jähriger Bemühung noch immer nicht bewiesen. Es ist nach wie vor so, wie der Mathematiker C. A. Rogers spöttisch meinte: Die meisten Mathematiker glauben und alle Physiker wissen, dass es keine dichtere Kugelpackung als die „Obsthändlerpackung” gibt.
In jüngster Zeit hat der amerikanische Mathematiker Thomas Hales in einer Reihe von tiefgründigen Arbeiten und umfangreichen Computerrechnungen versucht, das Problem zu lösen. Eine hochrangig besetzte Gutachterkommission überprüfte das – und kam zu dem Schluss: Es ist zu 99 Prozent sicher, dass der Beweis richtig ist.
