Es war in unserem letzten Urlaub. Ich hatte zwei Stunden mit Christoph Tischtennis gespielt. Er hatte gewonnen. Ich war ausgepumpt und hatte mir, so dachte ich, eine Pause verdient. Daher machte ich es mir mit einem Buch auf der Terrasse bequem.
Christoph war noch immer aktiv: Er ließ den Ball auf dem Schläger hüpfen oder aus großer Höhe auf die Tischtennisplatte fallen, wobei es den typischen Tischtennisballrhythmus gab. Ich versuchte wegzuhören.
„Papa”, fragte Christoph, „wie lange hüpft denn der Ball?”
Ich brummte: „Bis er fertig ist.”
„Theoretisch müsste er aber unendlich lange hüpfen”, Christoph war offenbar überhaupt nicht müde. „Wenn er unendlich oft hüpft, dann auch unendlich hoch und runter, oder?”
„Klar doch.”
„Und dabei müsste er unendlich viele Strecken zurücklegen.”
„Hmm.” Ich war kurz vorm Einschlafen.
„Papa, wie lang ist denn dieser Weg insgesamt? Auch unendlich?”
Ich schreckte auf: „Was ist los?”
Christoph kam zu mir und ließ den Ball nochmal auf dem Schläger springen: „Wenn er unendlich oft hüpft, dann zwar immer weniger hoch. Aber wenn man diese unendlich vielen Strecken zusammenrechnet, kommt doch was Unendliches raus, oder?”
Ich hatte keine Chance zu entkommen. Ich nahm den Ball, ließ ihn einmal hüpfen und fing ihn wieder auf: „Der Ball springt hoch, aber nicht auf die Höhe, die er davor hatte.”
„Hab ich doch gesagt.”
„Er springt immer bis zu einem gewissen Prozentsatz der vorigen Höhe.”
„Was soll das heißen?”
„Lassen wir den Ball aus einem Meter fallen. Wie hoch springt er zurück?”
Christoph probierte es aus, indem er den Ball ein Stück höher als die Tischplatte hielt und dann auf den Boden fallen ließ: „ Ich schätze mal, 70 Zentimeter.”
„Ich schlage vor, wir sagen 50 Zentimeter. Dann können wir besser rechnen.”
Dann fragte ich: „Wie hoch springt er beim zweiten Mal?”
„Keine Ahnung”, sagte Christoph.
„Das ist doch das Gleiche, wie wenn du ihn fangen würdest, wenn er ganz oben ist, und ihn dann aus dieser Höhe fallen lassen würdest. Von einem Meter kommt er wieder auf die Hälfte hoch. Von 50 Zentimetern also …”
Christoph unterbrach mich: „Die Hälfte, also 25 Zentimeter. Und dann 12,5 und so weiter.”
„Wir rechnen mal so: Erst fällt er von einem Meter runter, dann von einem halben, dann von einem viertel Meter …”
„Dann kommt ein achtel, ein sechzehntel Meter und so weiter”, warf Christoph ein. „Unendlich, sag ich doch.”
„Wir schauen genauer hin: Vor dem zweiten Aufprall ist der Ball einen Meter und einen halben gefallen, also 1 + 1/2 Meter. Bis zu zwei Metern fehlt ein halber Meter. Vor dem dritten Aufprall ist er 1 + 1/2 + 1/4 Meter = 1 + 3/4 Meter gefallen, zu zwei Metern fehlt noch ein viertel Meter.”
Christoph machte weiter: „Vor dem nächsten Aufprall ist der Ball 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 Meter gefallen. Das ist …” Ich half ihm: „1 + 7/8 Meter.”
„Also fehlt bis zwei Meter ein achtel Meter. Christophs Augen leuchteten: „Und das nächste Mal fehlt noch ein sechzehntel Meter. Das heißt, man kommt immer näher an zwei Meter heran, aber nie darüber. Das heißt, der Ball fällt bei unendlich vielen Hüpfern insgesamt zwei Meter.”
„Die Mathematiker drücken das in einer Formel aus. Die heißt 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 2.”
Christoph war noch etwas aufgefallen: „Um die gesamte Wegstrecke zu bekommen, müssen wir noch die Stücke berechnen, die der Ball nach oben hüpft. Das ist 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … Meter, also genau ein Meter. Insgesamt legt der Ball drei Meter zurück.”
Ich fasste zusammen: „Es kann also sein, dass man unendlich viele Zahlen zusammenzählt und dennoch nicht unendlich herauskommt.” Christoph war zufrieden, und ich konnte endlich in Ruhe mein Buch lesen.
