Unendlich ist nicht gleich unendlich
Heft 12/2013
Im Artikel wird behauptet, dass innerhalb der hyperreellen Zahlen die 0,999… (mit unendlich vielen Neunen) einen Punkt vor der 1 bezeichne. Das ist so nicht korrekt.
Zunächst ist festzuhalten, dass 0,999… nicht von vornherein eine bestimmte Bedeutung hat, sondern erst sinnvoll definiert werden muss. Gibt man eine solche Definition innerhalb der Theorie der reellen Zahlen (zum Beispiel mittels Dedekind’scher Schnitte), dann ist 0,999… gleich 1, so wie man es in der Schule lernt.
Daran ändert sich nichts, wenn der Zahlbereich auf die hyperreellen Zahlen ausgedehnt wird. Es treten dann zu den reellen Zahlen lediglich neue hinzu, von denen welche (und zwar nicht nur eine, sondern unendlich viele) unendlich nahe bei 1 liegen, also näher als jede reelle Zahl, die ungleich 1 ist. Keine dieser neuen Zahlen ist jedoch 0,999…, denn das ist nach wie vor eine reelle Zahl und gleich 1.
Die Frage, ob unser „intuitives Kontinuum” unendlich nah benachbarte Punkte (und damit unendlich kleine und unendlich große Größen) enthält, ist müßig, da dieses Kontinuum letztlich Einbildung ist. Die Mathematiker des 19. Jahrhunderts stellten sich der Aufgabe, eine Theorie des Kontinuums ohne unendliche Größen zu entwickeln, was schwer genug war. Robinson zeigte dann mit seinen hyperreellen Zahlen, dass es auch eine Theorie mit unendlichen Größen gibt.
Müßig im Sinn von nutzlos ist die Frage nach dem Kontinuum nicht. Doch es lässt sich meines Erachtens nicht beantworten, was das Kontinuum ist, sondern allenfalls, was wir darunter verstehen wollen, und dafür kann es unterschiedliche Konzepte geben.
Die Jahrtausende währende Diskussion um das Kontinuum zeigt, dass unsere Intuition offenbar nicht so klar und eindeutig ist, wie Platon es gerne gehabt hätte.
Wenn ich richtig verstehe, halten die Autoren das Kontinuum weder für die Menge der reellen Zahlen noch für die Menge der hyperreellen Zahlen noch für die Menge von überhaupt irgendwelchen „Atomen”, weil man ja immer wieder irgendetwas dazwischen definieren kann. Kommt das nicht einer Kapitulation gleich? Das Kontinuum wäre dann nur ein Phantom, mit dem man als Mathematiker überhaupt nichts mehr anfangen kann.
Karl Kuhlemann, Altenberge
Die Antwort des Koautors Thomas Bedürftig:
Eine wichtige Aussage unseres Artikels ist, dass eine Gerade keine Punkt- menge ist. Eine Gerade als Punkt- oder Zahlenmenge ist lediglich ein mathematisches Modell, mit dem man erfolgreich arbeiten kann. Auf der gewöhnlichen Zahlengerade ist 0,999…, als Dedekind’scher Schnitt verstanden, gleich 1. Die Konstruktion von *R (hyperreelle Zahlen) hingegen identifiziert 0,999… als Folge der Partialsummen und unterscheidet 0,999… von 1.
Die Frage nach dem Kontinuum halte ich keineswegs für müßig. Sie ist eine Grundfrage der Mathematik und Physik. Das lineare Kontinuum ist als Gerade mathematisch überall präsent. Je nachdem, wie man sie auffasst, ergeben sich fundamental andere Mathematiken. Das Kontinuumproblem ist dabei nicht nur ein ungutes „Gefühl”, sondern entscheidend.
Ihre Auffassung, dass die Nichtstandard-Analysis weitaus komplizierter ist, teile ich nicht. So wie man mit den reellen Zahlen umgeht, nämlich höchst pragmatisch, kann man es auch mit den hyperreellen Zahlen tun. Und dann wird vieles einfacher und eleganter.
Natürlich kann man, wie man mathematisch fast alles kann, die Gerade als Punktmenge setzen. Dann erhält man Modelle der Geraden, reell oder hyperreell – Modelle über Modelle. Nur wird damit das anschauliche Kontinuum nicht erledigt. Das Kontinuum bleibt ein Geheimnis. Aber: Nichts erfasst das Kontinuum besser als die Mathematik. Die reellen Zahlen und reellen Räume bieten unübertroffene Modelle. Es sind diese Modelle, die der Mathematik eine unglaubliche Erfolgsgeschichte bescherten. Die Mathematik ist und bleibt die einzigartige Disziplin mit universellen, unübersehbaren und unabsehbaren Anwendungen. Kurz: Die Zahlengerade ist eine überaus erfolgreiche Illusion.
Heilsame Pause
Heft 11/2013
Im diesem Artikel ist Ihnen ein Fehler unterlaufen: Das Hormon Insulin hat nicht die Aufgabe, den Blutzuckerspiegel zu senken, sondern die Glukose aus dem Blut in die Zellen zu schleusen. Dadurch wird sekundär natürlich auch der Blutzuckerspiegel gesenkt. Hier haben Sie Ursache und Wirkung verwechselt.
Dr. Edgar Waldmann, per E-Mail
