Im Jahr 1736 wurde Leonhard Euler eine schwierige Aufgabe gestellt. Kein Problem für ihn, dachte man. Schließlich war Euler einer der größten Mathematiker aller Zeiten und einer der angesehensten Gelehrten des 18. Jahrhunderts. Er war an der Akademie in St. Petersburg tätig und trotz seiner 29 Jahre schon sehr berühmt. Kurz: Er war jemand, den man fragte, wenn man ein schwieriges Problem hatte.
Die Aufgabe, die Euler 1736 vorgelegt bekam, betraf die Brücken von Königsberg, dem heutigen Kaliningrad. In Königsberg gab es sieben Brücken, die das Nord- und Südufer des Flusses Pregel mit zwei Inseln verbanden. Das Problem bestand darin, einen Spaziergang so zu legen, dass man über jede Brücke genau einmal ging und wieder am Ausgangspunkt ankam.
Viele Menschen haben versucht, eine solche Route zu finden. Einige behaupteten, es geschafft zu haben, konnten aber den Spaziergang nicht wiederholen. Sprich: Hier war ein Mathematiker gefragt. Um das Problem zu lösen, machte Euler das, was Mathematiker immer tun: Er abstrahierte. Das heißt, er vereinfachte. Er ließ alles weg, was unnötig war: Die Länge und Breite der Brücken, ihren Abstand zueinander und den Bebauungsplan von Königsberg – diese Informationen trugen zur Problemstellung nicht das Geringste bei.
Nur die relative Lage der Brücken war wichtig. Also: Welche Inseln und Landteile durch wie viele Brücken miteinander verbunden waren. Das stellte Euler mit einer stark vereinfachten, eben „abstrakten” Zeichnung dar. Statt eine Brücke zu zeichnen, hätte Euler auch einfach nur einen Strich machen können.
Euler hatte den Kern des Problems herauspräpariert. Er sagte sich nun: Nehmen wir mal an, dass es den ersehnten Spaziergang gibt. Wohlgemerkt, er sagte nicht: Es gibt einen solchen Spaziergang. Denn das wusste er nicht. Er untersuchte nur, welche Auswirkung die hypothetische Existenz eines Rundwegs auf die Struktur der Brücken haben würde.
Schauen wir uns einmal die Insel in der Mitte der Karte an: Irgendwann auf unserem Spaziergang werden wir sie betreten und wieder verlassen. Das geschieht auf zwei Brücken, die wir dann nicht mehr benutzen dürfen. Später müssen wir wieder auf die Insel kommen, denn es gibt ja noch unbenutzte Brücken. Wieder „ verbrauchen” wir zwei Brücken – es bleibt nur eine übrig. Auch diese müssen wir noch überqueren. Dann kommen wir zwar auf die Insel, aber nicht wieder weg. Dieses Dilemma ließe sich nur mit einer weiteren Brücke lösen. Da bei jedem Betreten einer Insel immer zwei Brücken benutzt werden, braucht man eine gerade Zahl von Brücken.
In Königsberg war es aber nun so, dass von jedem Landteil eine ungerade Zahl von Brücken ausging: Von der Insel in der Mitte fünf Brücken und von der rechts davon sowie vom Nord- und Südufer jeweils drei Brücken. Also, schloss Euler, ist ein Spaziergang über die sieben Brücken von Königsberg nicht möglich. Damit war das Problem ein für alle Mal geklärt.
Aber Euler dachte weiter. Er tat wieder etwas, was Mathematiker immer tun: Er verallgemeinerte. Er stellte sich eine beliebige Landschaft von Flüssen, Inseln und verbindenden Brücken vor und fragte sich, unter welchen Umständen ein Rundgang über alle Brücken möglich sei. Natürlich muss die Landschaft zusammenhängen, darf sich also nicht auf zwei Kontinente verteilen. Dann stellte Euler den Satz auf: Ein Rundgang ist genau dann möglich, wenn von jedem Landteil und jeder Insel eine gerade Zahl von Brücken ausgeht.
Euler hat allerdings nur einen Teil des Satzes bewiesen. Der Nachweis der Existenz eines Rundwegs „war ihm klar”. Erst gut 100 Jahre später wurde dieser Beweis von dem jungen deutschen Mathematiker Carl Hierholzer erbracht.
