BITTET man einen Mathematiker, einfach so eine Zahl zu nennen, dann wird er kurz zögern, vielleicht darüber nachdenken, ob diese Aufforderung sinnvoll ist, und dann „17″ sagen. Warum?
Na ja, er weiß, dass die ersten Zahlen von 1 bis 12 alle etwas Besonderes sind, zum Beispiel trägt jede einen individuellen Namen (eins, zwei, drei …) Mit 13 beginnen die Teenager-Zahlen, von denen eine fast wie die andere klingt: dreizehn, vierzehn, fünfzehn. Unter diesen gleich klingenden Zahlen sticht für Mathematiker eine durch ihren „inneren Wert” hervor: die 17.
Schon die alten Pythagoreer sollen von dieser Zahl fasziniert gewesen sein – einfach weil sie zwischen 16 und 18 liegt. Hört sich blöd an, ist es aber nicht. Denn 16 und 18 sind die einzigen Zahlen, für die es ein Rechteck gibt, bei dem der Umfang gleich dem Flächeninhalt ist. Das Quadrat mit der Seitenlänge 4 hat den Flächeninhalt 4 · 4 = 16 und den Umfang 4 + 4 + 4 + 4 = 16. Und das Rechteck mit den Seitenlängen 3 und 6 hat den Flächeninhalt 3 · 6 = 18 und den Umfang 3 + 6 + 3 + 6 = 18.
Was dem Mathematiker bestimmt zuerst einfällt, ist die Tatsache, dass 17 eine Primzahl ist. Man könnte einwenden: 17 ist eine Primzahl wie 11, 13 und 19 auch. Aber 17 ist eine ganz besondere Primzahl. Sie folgt nämlich auf 16, und 16 ist eine Potenz von 2, denn 16 = 2 · 2 · 2 · 2 = 24. Auch von diesem Typ Primzahlen gibt es mehr als eine, aber nicht viele. Bei den kleinen Primzahlen sieht es noch gut aus: 3 = 2 + 1, als Formel: 3 = 21 + 1. Die Primzahl 5 ist gleich 4 + 1, also 5 = 22 + 1. Dann kommt 17 = 24 + 1, und dann 257 = 28 + 1. Dann kommt 65 537 = 216 + 1. Und dann – kommt nichts mehr. Jedenfalls hat man trotz intensiver Suche keine weitere Primzahl dieses Schemas gefunden: keine Primzahl, die eine Zweierpotenz plus Eins ist. Diese Primzahlen sind nach dem französischen Mathematiker Pierre de Fermat (1607 bis 1665) benannt und heißen Fermat’sche Primzahlen. Man weiß Folgendes: Wenn 2n + 1 eine Primzahl ist, dann muss auch der Exponent n selbst eine Potenz von 2 sein. Insofern ist die Zahl 17 mit n = 22 schon etwas ziemlich Besonderes. Anders geschrieben: 17 = 2² 2 + 1.
Es kommt noch besser: Schon in der antiken Geometrie taucht die Frage auf, welche regulären n-Ecke – also Vier-, Fünf- oder Sechsecke – man mit Zirkel und Lineal konstruieren kann. Der erste Satz in Euklids berühmtem Buch „Elemente” läuft darauf hinaus, ein gleichseitiges Dreieck zu konstruieren. Die Konstruktion eines regulären Vierecks (das heißt: eines Quadrats) und eines regulären Sechsecks ist einfach. Etwas schwieriger ist die Konstruktion eines regulären Fünfecks. Auch für n = 8, n = 10, n = 12, n = 15 und n = 16 konnte man reguläre n-Ecke konstruieren. Die generelle Frage, welche regulären n-Ecke sich mit Zirkel und Lineal konstruieren lassen, blieb aber ungelöst – bis sich der größte deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauß (1777 bis 1855) der Sache annahm. Es war sein erster Geniestreich, den er mit 18 Jahren vollbrachte.
Tatsächlich gelang es ihm am 29. März 1796 ein reguläres 17-Eck zu konstruieren. Er nahm dazu allerdings weder Zirkel noch Lineal in die Hand, sondern übersetzte das Problem in Zahlen. Die Zahlen beziehen sich auf die Seitenlänge und den Winkel eines regulären n-Ecks. Kann man nämlich einen Winkel eines regulären n-Ecks konstruieren – sei es den Eckwinkel oder den Mittelpunktswinkel –, so kann man das gesamte n-Eck konstruieren. Gauß kannte schon das Verfahren, mit dem man einer Zahl ansehen kann, ob sie konstruierbar ist oder nicht – das heißt, ob man eine entsprechende Strecke oder einen entsprechenden Winkel mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.
Nicht nur wir stehen bewundernd vor diesem Geniestreich, auch Gauß selbst sah seine Erkenntnis als gutes Omen für seine weitere Laufbahn. So begann er am darauffolgenden Tag ein mathematisches Tagebuch, dessen erster Eintrag am 30. März 1796 die Konstruktion des regulären Siebzehnecks war: der endgültige Ritterschlag für die 17.
