Viele Erkenntnisse der Mathematik sind „negative” Ergebnisse in dem Sinne, dass man zeigt: Ein hypothetisches Objekt existiert nicht. Oder: Ein Objekt hat eine gewisse Eigenschaft nicht. Ein Beispiel: 2 ist keine rationale Zahl, das heißt sie kann nicht als Bruch mit ganzzahligem Zähler und Nenner geschrieben werden. Etwas formaler ausgedrückt: Es gibt keine ganzen Zahlen m und n, sodass 2 = m/n ist.
Solche „negativen” Aussagen sind nicht schlimm. Im Gegenteil: Sie gehören zu den Perlen der Mathematik. Wie kann man sie beweisen? Naiv könnte man denken, man müsse eine unendliche Fülle von Fällen durchprobieren. Beim Nachweis der Irrationalität von 2 müsste man also alle Paare von ganzen Zahlen testen und sich jeweils überzeugen, dass 2 nicht gleich dem Bruch aus diesen beiden ist. Doch das ist kein vernünftiges Vorgehen, denn bei unendlich vielen Fällen kommt man nie ans Ziel.
Man braucht also eine Methode, mit der man alle Fälle auf einen Schlag erledigen kann. Die Methode gibt es. Sie heißt „ Beweis durch Widerspruch”. Man nimmt an, dass eine Aussage doch richtig ist, und erreicht dann in einer mehr oder weniger kurzen Folge von logischen Schlüssen einen Widerspruch.
Beim Nachweis der Irrationalität von 2 geht das so: Wir nehmen an, dass es ganze Zahlen m und n gibt, sodass 2 = m/n ist. Man kann die Zahlen m und n so wählen, dass der Bruch m/n so weit wie möglich gekürzt ist. Das bedeutet, dass m und n keinen gemeinsamen Teiler haben, der größer als 1 ist. Sie können dann insbesondere nicht beide gerade sein. Nun kommen die logischen Schlüsse: Zunächst quadrieren wir die Gleichung und erhalten 2 = m2/n2. Dann multiplizieren wir diese Gleichung mit n2 und erhalten 2 n2 = m2. Jetzt kommt schnell heraus, dass sowohl m als auch n gerade sein müssen. Und das ist der Widerspruch.
Sicher ist: Die linke Seite obiger Gleichung ist eine gerade Zahl, weil sie 2 mal irgendetwas ist. Also muss auch die rechte Seite gerade sein. Das gelingt nur, wenn die Zahl m gerade ist. Dann ist die rechte Seite, nämlich m mal m, sogar ein Vielfaches von 4. Nun blicken wir nochmal nach links: Auch diese Seite muss ein Vielfaches von 4 sein – und das heißt, dass n2 eine gerade Zahl ist. Das bedeutet wiederum, dass auch n gerade ist. Voilà – der Widerspruch!
Betrachten wir noch ein Beispiel: den Nachweis der Unendlichkeit der Primzahlen. Anstatt die „positive” Aussage „Es gibt unendlich viele Primzahlen” zu zeigen, beweist man die „ negative” Aussage „Es gibt keine größte Primzahl”. Die beweist man – wie oben – durch einen Widerspruch. Diese geniale Idee für einen der schönsten Beweise der Mathematik steht schon im Buch „ Die Elemente” von Euklid aus der Zeit um 300 v. Chr.
Gibt es eine größte Primzahl, könnte man prinzipiell alle Primzahlen der Reihe nach aufschreiben. Die Reihe beginnt mit 2, 3, 5, … Irgendwann kommt die derzeitige Weltrekordprimzahl 243 112 609 – 1 mit 12 978 189 Stellen. Nach unserer Annahme wäre die Reihe bei einer Zahl zu Ende.
Wir schreiben jetzt die Primzahlen einmal so auf, dass wir die erste Primzahl p1 nennen, die zweite p2 und so weiter, bis wir zur letzten kommen, die wir ps nennen. Es gibt also insgesamt genau s Primzahlen. Euklids geniale Idee bestand darin, all diese Primzahlen miteinander zu multiplizieren – und dann noch 1 zu addieren. Er betrachtete also die Zahl m = p1 · p2 · p3 · … · ps + 1.
Die „magische” Zahl m ist riesig, aber eine natürliche Zahl. Und wie jede natürliche Zahl ist m entweder eine Primzahl oder lässt sich von einer solchen teilen. Da es aber nach der Annahme nur die Primzahlen p1, p2, …, ps gibt, muss sich m von einer solchen Primzahl teilen lassen. Zum Beispiel könnte m von p1 geteilt werden. Da p1 aber auch in dem Produkt p1 · p2 · p3 · … · ps ohne Rest aufgeht, müsste die Primzahl p1 auch die Zahl 1 teilen. Das ist aber nicht möglich. Dieser Widerspruch zeigt: Die Annahme war falsch. Es gibt also keine größte Primzahl.
