Gleiche elektrische Ladungen stoßen sich ab, deshalb streben sie nach möglichst großem Abstand zwischen sich. Das wusste schon der britische Physiker Joseph J. Thomson, als er im Jahr 1904 an seinem Atommodell tüftelte. Er suchte daher nach der energetisch günstigsten Konfiguration von Elektronen auf einem kugelförmigen Atom. Thomsons Atommodell ist zwar längst überholt, das mathematische Problem ist aber geblieben. Denn solche optimalen Verteilungen spielen in vielen Fachgebieten eine Rolle – vom Aufbau kugelförmiger Viren über Kristallformen und Kolloide bis zur Geografie.
Das Problem: Was für wenige Ladungen noch relativ einfach ist, lässt sich für eine größere Menge von Ladungen nur noch schwer berechnen. „Weil die Zahl der lokalen Minima exponentiell mit der Menge der Ladungen zunimmt, wird die Suche nach einer Lösung rasch schwieriger“, erklären Thomas Pohl von der Universität Innsbruck und seine Kollegen. Analytische Lösungen für das Thomson-Problem gibt es deshalb erst für kleine Systeme.
Superfluide Heliumtröpfchen als Helfer
Jetzt haben Pohl und sein Team eine Methode gefunden, durch die man das Thomson-Problem praktisch lösen kann – durch direkte Beobachtung im Labor. Dies ermöglicht es, mathematische Modelle experimentell zu überprüfen. „Das eröffnet einen neuen experimentellen Zugang, um zu untersuchen, wie sich die Ladungsordnung von kleinen, klar definierten Konfigurationen hin zu viel größeren Systemen auf gekrümmten Oberflächen entwickelt“, erläutert Pohls Kollege Paul Scheier.
Herzstück der neuen Methode sind winzige Tröpfchen aus ultrakaltem Helium. Wird dieses Edelgas bis auf wenige Zehntelgrad über dem absoluten Nullpunkt heruntergekühlt, verhält es sich wie eine Flüssigkeit ohne innere Reibung - es wird superfluid. „Superfluide Helium-Nanotröpfchen bieten uns eine außergewöhnlich saubere und kalte Umgebung, in der sich bis zu mehreren tausend Ladungen auf einer gekrümmten Oberfläche fast ohne äußere Störung organisieren können“, erklärt Scheier.
Goldanlagerungen verraten das Ladungsmuster
Für ihr Experiment sprühten die Physiker einen Strahl der winzigen Heliumtröpfchen durch einen Elektronenstrahl in einer Vakuumkammer. Dies bewirkt, dass im Helium enthaltene Verunreinigungen durch positiv geladene Natrium- und Calcium-Ionen an die Tropfenoberfläche gezogen werden und dort Ladungszentren bilden. Je nach Tropfengröße entstanden dadurch Heliumtropfen mit fünf bis mehreren hundert Ladungspunkten. Weil sich diese Ladungen gegenseitig abstoßen, streben sie nach der energieärmsten, optimalen Konfiguration.
Um diese Ladungsverteilung auf den winzigen und leicht flüchtigen Heliumtröpfchen sichtbar zu machen, schickten die Physiker die Tröpfchen durch eine Wolke verdampfter Goldatome. Diese werden von den positiven Ladungszentren auf den Tröpfchen angezogen und lagern sich an. „An den Ladungszentren entstehen dadurch einfach geladene Gold-Nanopartikel“, erklären Pohl und seine Kollegen.
Experimentell sichtbar gemachte Abdrücke (links) für Ladungszentren auf der Oberfläche von Helium-Nanotröpfchen, Vergleich der Abdrücke mit theoretischen Modellen (Kreisumrisse) und projizierte Thomson-Konfigurationen (rechts). — © Pohl et al./ Physical Review Letters, CC-by 4.0
Der Clou dabei: Die Heliumtröpfchen und ihre Ladungszentren lassen sich nicht direkt abbilden - die Anordnung der Goldklümpchen aber schon. Wenn die mit Gold beladenen Heliumtröpfchen auf einen Probenträger für die Transmissionselektronenmikroskopie prallen, erzeugen die Goldpartikel einen Abdruck der ursprünglichen Ladungsanordnung. „Dadurch können wir diese Anordnungen konservieren und abbilden, nachdem das Helium verdampft ist“, so Scheier.
Von Dreiecken zu Fünf- und Sechsecken
Die Experimente ergaben: Bei kleinen Heliumtröpfchen mit fünf bis 36 Ladungen verteilen sich diese so, dass auf der Oberfläche ein Dreiecksmuster entsteht. Die Anordnung der Ladungszentren entspricht dabei der theoretisch vorhergesagten energieärmsten Anordnung. „Bei Tröpfchen mit weniger als 36 Ladungszentren zeigt sich ein klarer Zusammenhang zwischen den beobachteten Abdrücken und den dreidimensionalen idealen Thomson-Konfigurationen“, berichten die Physiker.
Bei größeren Tröpfchen mit einem Radius von bis zu einem Mikrometer zeigt sich hingegen ein anderes Bild: Die Goldpartikel bilden ein Sechseckgitter, das von einzelnen fünfeckigen Defekten unterbrochen wird. „Diese Defektstruktur ist charakteristisch und entsteht durch die Frustration einer hexagonalen Packung auf einer gekrümmten Oberfläche“, erklären Pohl und seine Kollegen. Weil sich ein Sechseckgitter nicht lückenlos auf eine Kugeloberfläche legen lässt, müssen eingestreute Fünfecke für den nötigen Ausgleich sorgen – wie bei den Lederwaben eines klassischen Fußballs.
Experiment hilft der Mathematik
„Damit haben wir eine experimentelle Plattform entwickelt, um im Realraum die Konfigurationen des 1904 von Thomson aufgestellten Optimierungsproblems zu untersuchen“, konstatieren die Physiker. Mithilfe der Heliumtröpfchen lassen sich nun nicht nur die schon berechneten Ladungsverteilungen überprüfen, das Experiment kann auch dazu dienen, noch nicht bekannte Anordnungen abzubilden.
„Was mich am meisten begeistert ist, dass sich dadurch das übliche Verhältnis zwischen Theorie und Experiment umkehrt: Anstatt dass die Mathematik lediglich vorhersagt, was ein Experiment ergeben sollte, können wir nun die Natur Lösungen generieren und die Mathematik erklären lassen, was wir beobachten“, sagt Co-Autor Shengfu Yang von der Universität Leicester.
Quelle: Thomas Pohl (Universität Innsbruck) et al., Physical Review Letters, 21026; doi: 10.1103/qby4-bm6q
