Das ist schon eine verrückte Sache – ein in sich verschlungenes Band, dessen Attraktion aus der Spannung rührt, dass es zunächst undurchschaubar wirkt, man aber intuitiv doch spürt: Die Sache ist „eigentlich” ganz einfach.
Alles begann mit dem deutschen Mathematiker August Ferdinand Möbius (1790 bis 1868). Dieser kam im Jahre 1858 auf die Idee, ein Papierband nicht „einfach so” zusammenzukleben, sondern vor dem Zusammenkleben ein Ende um 180 Grad zu drehen. Damit war das Möbiusband geboren! Allerdings glaube ich, dass schon viele Menschen vor Möbius ein Band so zusammengefügt haben. Möbius war aber der Erste, der dieses Objekt als ernst zu nehmendes mathematisches Thema betrachtete.
Was ist das Besondere am Möbiusband? Wenn man einen Papierstreifen „normal” zusammenklebt, gibt es innen und außen: Man kann die Außenseite mit einer Farbe, die Innenseite mit einer anderen bemalen. Es gibt auch zwei Kanten: eine oben und eine unten.
Beim Möbiusband ist alles anders: Der Unterschied von innen und außen ist aufgehoben. Wenn man an einer Stelle anfängt, den Streifen anzumalen und immer weiter malt, hat man am Ende das gesamte Band bemalt. Das heißt: Das Möbiusband hat nur eine Seite – eine sehr einseitige Sache. Und es besitzt auch nur eine Kante. Wenn man mit der Hand am Rand entlangstreicht, kommt man ohne abzusetzen überall hin.
Richtig spannend wird es, wenn Sie ein Möbiusband aus Papier längs seiner Mittellinie durchschneiden. Ich kann dieses Experiment nur empfehlen, denn es passiert etwa Erstaunliches! Zerfällt das Band in zwei Teile? Keineswegs: Es entsteht ein einziges, doppelt so langes, dafür nur halb so breites Band. Das ist kein Mysterium, sondern man kann es erklären: Gerade haben wir gesehen, dass das Zauberband nur eine einzige, durchgehende Randlinie hat. Da diese beim „Halbieren” nie durchschnitten wird, muss das Ergebnis immer noch aus einem Stück bestehen.
Noch überraschender ist das Ergebnis, wenn man ein Möbiusband bei einem Drittel durchschneidet: Stechen Sie ein Drittel von der rechten Kante entfernt ein und schneiden Sie den Streifen längs durch, indem Sie immer den gleichen Abstand von der rechten Kante halten. Was passiert? Jetzt zerfällt das Band – in zwei Teile: ein schmales Möbiusband und ein doppelt so langes Band. Und diese beiden hängen ineinander!
Auch dies kann man sich klar machen: Stellen wir uns vor, wir machen den ersten Versuch (Halbieren) so, dass ein breiter Streifen in der Mitte herausgefräst wird. Dann ist der Rest das doppelt so lange Band, und der herausgefräste Teil ein schmales Möbiusband.
Übrigens: Das Möbiusband ist nicht nur ein ideales Objekt, an dem wir unsere Raumvorstellung auf die Probe stellen können, sondern es hat auch Anwendungen. Erinnern Sie sich noch an jene ferne Zeit, als man für Schreibmaschinen und Drucker ein Farbband verwendete? Man musste dazu die Druckkassette mit dem Band in die Maschine schieben. War die Druckerfarbe der einen Seite aufgebraucht, musste man die Kassette herausnehmen und umdrehen. Bei manchen Kassetten allerdings war dies überflüssig, denn das Band wurde wie ein Möbiusband geführt, so dass beide Seiten gleichmäßig abgenutzt wurden. ■
