Wenn man zwei Münzen mit geriffeltem Rand dicht nebeneinander legt und eine der beiden rechts herumdreht, dann muss sich die andere links herumdrehen. Legt man drei Münzen im Dreieck dicht aneinander, geht die Rechnung nicht mehr auf: Es hakt im Getriebe, weil die dritte Münze die erste genau andersherum drehen will – es kommt zu Reibungsverlusten, weil die Münzränder aneinander vorbeischleifen. Hans Herrmann von der Universität Stuttgart und seine Kollegen haben jetzt gezeigt, dass es möglich ist, unendlich viele Kugeln so zu “packen” dass sie sich alle ohne Reibungsverluste drehen. Das berichtet das Fachmagazin Science in seiner Online-Ausgabe.
Bereits vor fünfzehn Jahren hatte Herrmann das entsprechende Problem auf der zweidimensionalen Fläche gelöst ? allerdings nicht mit gleich großen Münzen, sondern mit einer unendlichen Anzahl verschieden großer Kreise, die eine bestimmte Fläche “raumfüllend” bedecken. Damit ist gemeint, dass die freien Flächen zwischen den Kreisen immer wieder mit kleineren Kreisen aufgefüllt werden ? bis ins unendlich Kleine. Solche geometrischen Anordnungen, bei denen jede Vergrößerung eines Ausschnitts wieder wie das Original aussieht, nennt man “selbstähnlich” oder Fraktale.
Jetzt haben Herrmann und seine Kollegen auch den 3-D-Beweis erbracht: Sie zeigten, dass es möglich ist, eine Hohlkugel so mit unendlich vielen Kugeln unterschiedlicher Größe aufzufüllen, dass die Hohlkugel raumfüllend ausgefüllt wird und dass es nirgends Reibungsverluste zwischen benachbarten Kugeln gibt. Die Hohlkugel selbst zählt dabei nicht mit, sie dient nur als Begrenzungsform. Nach dem griechischen Mathematiker Appolonius von Perga (etwa 262 bis 190 v.Chr.) nennt man solch eine Anordnung “Appolonische Packung”.
Die Stuttgarter Physiker und ein französischer Kollege platzierten zunächst sechs Kugeln an den Ecken eines Oktaeders und füllten dann sukzessive die freien Zwischenräume nach einer bestimmten Regel mit immer kleiner werdenden Kugeln aus. Die Forscher konnten zeigen, dass man bei geeigneter Wahl des Radius der sechs ersten Kugeln die reibungsfreie Packung erhält.
Herrmann glaubt, dass die Existenz solch einer reibungsfreien Kugelpackung ein geologisches Rätsel lösen könnte. Innerhalb erdbebengefährdeter Gebiete existieren an manchen Stellen erdbebenfreie Zonen. Einige Geologen haben tatsächlich Hinweise darauf gefunden, dass es an diesen Stellen zwischen den aneinander reibenden Kontinentalplatten zermahlene Gesteinskörnchen gibt, die einer fraktalen Größenverteilung folgen. Diese Körnchen könnten sich somit wie die von den Physikern gefundene Kugelpackung nahezu reibungsfrei gegeneinander bewegen. Mit den Körnchen als Schmiermittel würden sich die Kontinentalplatten nicht wie bei einem Erdbeben ineinander verhaken und dann wieder ruckartig lösen, sondern ohne Erdbeben aneinander vorbeigleiten.
Auf dieser Webseite finden Sie einige Animationen zur Kugelpackung der Stuttgarter Physiker. Die Arbeit der Forscher ist in den Physical Review Letters (92, 044301) erschienen.
Axel Tillemans
