Ohne Einstein kein Navi

Denn ohne Kenntnis der Speziellen und Allgemeinen Relativitätstheorie funktionieren Navis nicht. Die Geräte benötigen das Global Positioning System GPS. Es basiert auf einer Armada von 24 Satelliten, die in einer Höhe von 20.000 Kilometern um die Erde kreisen. Die Satelliten sind mit Atomuhren ausgestattet und senden unablässig die Parameter ihrer Bahn sowie Zeitsignale zur Erde.

Ein GPS-Empfänger registriert die Signale von mindestens vier fliegenden Atomuhren gleichzeitig und errechnet deren Laufzeit. Daraus bestimmt er die Entfernung der Satelliten. Die Umlaufbahnen sind genau bekannt, sodass der Empfänger seine eigene Position relativ zu den Satelliten berechnen kann. Dieses Verfahren entspricht demjenigen eines Geodäten, der durch Triangulation das Land vermisst. Es funktioniert überall – egal ob man nach Einöllen, Eindhoven oder Hovingham will. Nur in den Polarregionen gibt es Probleme.

Die Uhren gehen langsamer

Die Basis des Ortungssystems bildet also ein Uhren-Ensemble in der Erdumlaufbahn. Und immer, wenn es um sich bewegende Uhren geht, kommt Albert Einstein ins Spiel, der 1905 seine Spezielle Relativitätstheorie veröffentlichte. Sie besagt unter anderem, dass in einem sich schnell bewegenden System die Zeit langsamer vergeht als in einem langsamen. Licht ist sogar “zeitlos”.

Die Satelliten rasen mit knapp 14.000 Kilometer pro Stunde um die Erde. Am Äquator wirbelt ein Mensch mit 1670 Kilometer pro Stunde um die Erdachse, in einem Ort mittlerer Breite wie Stuttgart sind es knapp 1100 Kilometer pro Stunde, an den Polen ist die Geschwindigkeit null. Weil die Satellitenuhren sich uns gegenüber schneller bewegen, gehen sie der Speziellen Relativitätstheorie zufolge um etwa sieben Millionstel Sekunden pro Tag langsamer als diejenigen auf der Erde (Zeitdilatation). Die vom Breitengrad abhängige Korrektur macht hierbei höchstens zwei Prozent aus.

Die Satellitenuhr geht schneller

Es gibt aber einen gegenläufigen Effekt. Er ist die Folge von Einsteins zweitem großen Wurf, der Allgemeinen Relativitätstheorie von 1915. Laut ihr vergeht die Zeit umso langsamer, je stärker das Schwerkraftfeld ist. Da in 20.000 Kilometer Abstand von der Erdoberfläche die Gravitation schwächer ist als am Boden, “tickt” die Zeit in den Satelliten schneller, und zwar um 46 Millionstel Sekunden pro Tag.

Bei den Satellitenuhren überwiegt also der Effekt der Gravitation. Insgesamt laufen die Uhren an Bord um 39 Millionstel Sekunden pro Tag rascher als auf der Erdoberfläche. Das ist für unsere Alltagserfahrung verschwindend wenig, doch beim GPS entscheidend.

Ohne Einstein läge der Fehler bei elf Kilometer pro Tag

Da sich die Satellitensignale mit Lichtgeschwindigkeit – also mit 300.000 Kilometern pro Sekunde – ausbreiten, bewirkt eine Abweichung der Satelliten-Atomuhren von drei Milliardstel Sekunden eine Ungenauigkeit in der Positionsbestimmung von einem Meter. Diese kurze Zeit braucht das Signal, um diese Distanz zurückzulegen. Würde man die Einflüsse der Relativitätstheorie nicht berücksichtigen, läge das Navi pro Tag um etwa elf Kilometer daneben – und dieser Fehler würde täglich um denselben Betrag wachsen.

Schon nach drei Tagen wüsste ein Navi im Auto nicht mehr, ob es sich in Köln oder in Düsseldorf befindet. Die GPS-Konstrukteure müssen diesen Zeiteffekt berücksichtigen. Sie stellen die Satellitenuhren so ein, dass diese am Boden um eine 39 Millionstel Sekunde pro Tag zu langsam laufen. In ihrer Umlaufbahn gehen sie dann synchron mit Uhren auf der Erde.

Auf den Zentimeter genau – dank Korrekturen

Um mit dem GPS eine Genauigkeit im Zentimeterbereich zu erzielen, müssen noch mehr relativistische Einflüsse bedacht werden. Zum Beispiel bewegen sich die Satelliten auf leicht elliptischen Bahnen um die Erde, auf denen ihre Geschwindigkeit geringfügig schwankt. Das erfordert bei jeder Messung eine Korrektur.

“Ein Handy-Empfänger erhält von jedem Satelliten in der sogenannten Navigation Message in Echtzeit Informationen über die Bahn”, sagt Adrian Jäggi von der Universität Bern, der das Europäische Zentrum für die Bahnanalyse der GPS-Satelliten leitet.

Europas schwerer Start

Die langjährige Erfahrung ermöglicht es sogar, die ersten beiden Satelliten des im Aufbau befindlichen europäischen Satellitennavigationssystems Galileo zu nutzen. Durch eine Fehlfunktion in der Oberstufe der Sojus-Rakete gelangten sie im vergangenen Jahr auf eine zu niedrige und stark elliptische Bahn. Dadurch erfahren sie stärkere Geschwindigkeitsänderungen als üblich, und sie bewegen sich in Bereichen unterschiedlich starker Gravitation. Beide Effekte lassen sich berücksichtigen. “Die Korrekturen sind einfach nur größer als im Normalfall”, sagt Jäggi.

Die Korrekturen der Speziellen Relativitätstheorie sind mathematisch einfach. Die nichtlinearen Gravitationsgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie sind jedoch ungleich komplizierter und in den meisten Fällen nur näherungsweise lösbar. Allerdings treten große Abweichungen von der klassischen Theorie Newtons nur bei sehr starker Gravitation auf, wie sie in der Umgebung von Neutronensternen oder Schwarzen Löchern herrscht. Das Schwerefeld der Erde ist dagegen relativ schwach. Hier können sich die Wissenschaftler mit vergleichsweise einfachen Näherungslösungen behelfen. Fachleute nennen diesen Formalismus “Post-Newton’sche Näherung”.

Teil der Rechnung: die Eierform der Erde

Auf diese Weise berücksichtigt man auch die Abweichung der Erdform von der einer vollkommenen Kugel. Die Zentrifugalkraft verleiht unserem Planeten die Form eines Ellipsoids. Dessen Durchmesser ist am Äquator um 43 Kilometer größer als von Pol zu Pol. Das wirkt sich auf das umgebende Schwerefeld aus. Auch die unregelmäßige Verteilung von Gebirgen und Tiefländern hat einen Einfluss.

Das hört sich alles recht kompliziert an. Und es gibt noch eine Reihe weiterer Störungen, die nichts mit der Relativitätstheorie zu tun haben und ebenfalls ständig korrigiert werden müssen. Insbesondere werden die Satellitensignale in der oberen Atmosphärenschicht gebrochen, der sogenannten Ionosphäre, und ebenso im untersten Atmosphärenstockwerk, der “Troposphäre”. Dadurch ändert sich die Weglänge der Signale, was der Empfänger in eine falsche Position umrechnet. Beide Effekte hängen von unterschiedlichen Größen ab. Sie lassen sich aber recht gut korrigieren.

Auf den Millimeter genau

Zentrale Voraussetzung für alle Korrekturmaßnahmen ist eine möglichst genaue Kenntnis der Bahnen aller Satelliten. “Mit den aktuellen Methoden können wir deren Positionen bis auf etwa zwei Zentimeter genau messen”, sagt Jäggi.

Ein normales Navigationsgerät kann die Position bis auf etwa zehn Meter genau bestimmen. Mit technischen Tricks ist jedoch eine Präzision im Bereich von einigen Millimetern möglich. Beim sogenannten Differential-GPS verwendet man zum Beispiel Zusatzinformationen von einem fest installierten Empfänger, dessen Position sehr genau bekannt ist. Diese außergewöhnliche Präzision nutzen beispielsweise Geologen, um die Verschiebung der Kontinente zu messen.

Was Kontinentaldrift und Relativitätstheorie gemeinsam haben

“In unserem Analysezentrum werten wir täglich die Bahndaten aus und geben sie in ein mathematisches Modell ein, das auch die Positionen der Empfangsstationen enthält”, sagt Jäggi. Auf diese Weise können Forscher Änderungen der Erdrotation messen. Betrachtet man beispielsweise die “Durchstoßpunkte” der Erdachse durch die Erdoberfläche über einen Zeitraum von zwölf Jahren, so schwanken deren Orte in einem Bereich von 15 Meter Durchmesser. “Ihre Position und die Geschwindigkeit der Erdrotation lassen Rückschlüsse auf die Masseverteilung in und auf der Erde zu”, erklärt Jäggi. “Damit können Erdmodelle verifiziert und verbessert werden.”

Für die bei Bern gelegene Satellitenstation Zimmerwald zum Beispiel maßen die Wissenschaftler eine Bewegung von 25 Millimetern pro Jahr. Und wenn man alle weltweit verteilten Stationen zusammen betrachtet, erhält man eine Karte der tektonischen Plattenverschiebungen. Das ist ein beeindruckender Beweis für Alfred Wegeners Theorie der Kontinentaldrift, über die er in seinem Buch „Entstehung der Kontinente und Ozeane” 1915 schrieb – ein halbes Jahr vor Einsteins großem Wurf, der Allgemeinen Relativitätstheorie.

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