Der Durchbruch zur Relativitätstheorie

“Zweierlei sind die Abwege des Theoretikers”, schrieb Albert Einstein im Februar 1915 an den holländischen Physiker Hendrik Antoon Lorentz, “1) der Teufel führt ihn mit einer falschen Voraussetzung an der Nase herum (dafür verdient er Mitleid), 2) Er argumentiert fehlerhaft und liederlich (dafür verdient er Prügel)”. So gesehen ist Mitleid angebracht, denn tatsächlich war Einstein über Jahre hinweg einigen subtilen Irrtümern aufgesessen. Seit seiner ersten Idee zu einer Verallgemeinerung seiner Speziellen Relativitätstheorie für beschleunigte und gravitative Systeme im Jahr 1907 hatte er zwar große Fortschritte gemacht, sich dann aber in der Mathematik sowie in falschen theoretischen und philosophischen Annahmen verheddert. Seine “Entwurftheorie” zur Allgemeinen Relativitätstheorie mit dem Mathematiker Marcel Grossmann war 1913 vielversprechend gestartet, geriet aber nach und nach in immer tiefere Schwierigkeiten.

“Ein geringerer Physiker hätte Kompromisse geschlossen und geschwankt, aber Einsteins Unnachgiebigkeit ermöglichte es ihm, die falsche Hypothese herauszubringen”, sagt der Wissenschaftshistoriker John Norton. “Grossmann und Einstein waren nicht einem einfachen Fehler aufgesessen, sondern einer tiefen Misskonzeption über die Natur statischer Felder. Einsteins Schwierigkeiten basierten auf nichttrivialen Missverständnissen und der Weg den er verfolgt hat, war durchweg ein vernünftiger.”

Das war einerseits Pech, andererseits aber auch eine wichtige Lehre für die weitere Arbeit. “Einstein und Grossmann kamen bis auf eine Haaresbreite an die allgemein kovarianten Feldgleichungen der finalen Theorie”, resümiert Norton. Aber die Aufgabe der allgemeinen Kovarianz – das heißt einer Beschreibung physikalischer Sachverhalte unabhängig von der willkürlichen Wahl der Koordinatensysteme – brachte sie auf den falschen Weg. “Das war eine Katastrophe”, urteilt Norton im Rückblick. Hätten sich Einstein und Grossman weiter auf den Riemann-Krümmungstensor bezogen, dann hätten sie den Königsweg zu den Feldgleichungen beschritten.

Auferstanden aus den Trümmern

Einstein verzweifelte fast, begann im Herbst 1915 dann aber noch einmal von vorn. Dabei griff er die Vorarbeiten von 1912 und 1913 wieder auf und klopfte verschiedene Tensoren, die er schon damals im Visier hatte, erneut auf ihre Tauglichkeit für die Feldgleichungen ab. Und dann ging es Schlag auf Schlag. Im Wochentakt veröffentlichte Einstein am 4., 11., 18. und 25. November einen Beitrag in den “Sitzungsberichten” der Akademie (die in der Regel zuvor übrigens nicht mündlich vorgetragen wurden, wie immer wieder fälschlich in Büchern und Internet-Artikeln zu lesen ist). In diesem Monat meißelte Einstein gleichsam aus den Trümmern der vorangegangenen Versuche ein neues Gebäude und über dessen Eingang in Stein die Feldgleichungen der Gravitation. Und zwar so, wie sie bis heute ihre Gültigkeit bewahrt haben und in jedem fortgeschrittenen Physik-Lehrbuch zu finden sind (wenn auch meistens in einer moderneren Notation).

“Es gehört zu den Merkwürdigkeiten der Entstehungsgeschichte der Allgemeinen Relativitätstheorie, dass Einstein die wichtigsten Kandidaten für die Feldgleichung zweimal untersuchte, einmal im Winter 1912/13, als er seine Forschungsnotizen ins Züricher Notizbuch eintrug, und einmal gegen Ende 1915, als er der Berliner Akademie Woche um Woche eine neue Feldgleichung als Lösung des Gravitationsproblems vorlegte, zuerst auf Grundlage des November-Tensors, dann auf der Grundlage des Ricci-Tensors und schließlich, am 25. November, auf der Grundlage des Einstein-Tensors”, schrieb Jürgen Renn vom Max-Planck-Institut für Wissenschaftsgeschichte in Berlin in einer ausführlichen historischen Untersuchung. “Noch bemerkenswerter ist allerdings, dass er in diesen beiden Phasen zu unterschiedlichen Ergebnissen in Bezug auf die Eignung der verschiedenen Kandidaten kam.”

Die Rückkehr zu dem drei Jahre zuvor verworfenen Ansatz “mag wie das Ergebnis einer Komödie von Irrtümern erscheinen”, kommentiert Renn. Sie zeigt aber “die wesentliche Rolle der Reflexion” für den wissenschaftlichen Fortschritt, “die dazu führt, dass ein und dasselbe Resultat je nach Kontext eine unterschiedliche Bedeutung annehmen kann”. Deshalb sei Einstein letztlich auch “kein Irrweg” gegangen, meint Renn, sondern der Umweg war “die Voraussetzung für die Einbeziehung weiterer Wissensbestände, die sich für die Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie als kritisch erweisen sollten, insbesondere Bestände mathematischen und astronomischen Wissens”. Insofern waren die Mängel in der Entwurftheorie auch eine Voraussetzung für Einsteins Rückkehr auf den korrekten Weg. Renn spricht sogar von einem “Sprungbrett”. Einstein konnte damit die physikalische Sprache erst entwickeln, die zu einer begrifflichen Revolution führte, die, wie Renn es ausdrückt, “ein ganzes Netzwerk von Grundbegriffen betraf” und die physikalische Neuinterpretation eines hochentwickelten Formalismus erst ermöglicht hat.

Ein Umweg von drei Jahren

“Die allmählich aufdämmernde Erkenntnis von der Unrichtigkeit der alten Gravitations-Feldgleichungen hat mir letzten Herbst böse Zeiten bereitet”, schrieb Einstein rückblickend am 1. Januar 1916: “Die jetzigen Gleichungen hatte ich im Wesentlichen schon vor drei Jahren zusammen mit Grossmann, der mich auf Riemanns Tensor aufmerksam machte, in Betracht gezogen. Da ich aber die formale Bedeutung […] nicht erkannt hatte, konnte ich keine Übersichtlichkeit erzielen und die Erhaltungssätze nicht beweisen. Ebensowenig konnte ich erkennen, dass die Newton’sche Theorie als erste Näherung darin enthalten war; ich glaubte sogar, das Gegenteil eingesehen zu haben. So geriet ich in den Urwald!”

Aus diesem Dschungel der Konfusionen hatte sich Einstein dann im Oktober und November wieder herausgewühlt. Es waren Wochen unsäglicher Anstrengungen.

Erkenntnisse im Wochentakt

Die ersten Arbeit, am 4. November zur Veröffentlichung eingereicht, umfasste neun Seiten und trug den schlichten Titel “Zur allgemeinen Relativitätstheorie”. Darin gestand Einstein gleich auf der ersten Seite seinen “Irrtum” bezüglich seiner bisherigen Überzeugung, “das einzige Gravitationsgesetz gefunden zu haben”, das dem verallgemeinerten Relativitätspostulat auch für beschleunigte Systeme genügt, und der Begründung dafür. Er habe vollständig das Vertrauen in diese Gleichung verloren und nach einem neuen Weg gesucht, so Einstein. “So gelangte ich zu der Forderung einer allgemeineren Kovarianz der Feldgleichungen zurück, von der ich vor drei Jahren, als ich zusammen mit meinem Freunde Grossmann arbeitete, nur mit schwerem Herzen abgegangen war. In der Tat waren wir damals der im nachfolgenden gegebenen Lösung des Problems bereits ganz nahe gekommen.” Bevor Einstein dann die neuen Feldgleichungen der Gravitation ableitete, beendete er seine Einleitung mit einer für einen wissenschaftlichen Fachartikel geradezu überschäumenden Begeisterung: “Dem Zauber dieser Theorie wird sich kaum jemand entziehen können, der sie wirklich erfasst hat.”

Einstein war also höchst erfreut zu seiner ursprünglichen Grundannahme zurückgekehrt, dass die grundlegenden Naturgesetze und mithin die Feldgleichungen der Relativitätstheorie in allen Koordinatensystemen dieselbe Form haben. Doch die neue Theorie hatte noch immer Defizite, wie Einstein bald erkennen musste. Zunächst versuchte er am 11. November in einem dreiseitigen “Nachtrag” zu seinem vorigen Artikel zu zeigen, “dass durch Einführung einer allerdings kühnen zusätzlichen Hypothese über die Struktur der Materie ein noch strafferer logischer Aufbau der Theorie erzielt werden kann.”

Die Merkur-Sensation

Am 18. November reichte Einstein seinen nächsten Artikel bei den “Sitzungsberichten” der Akademie ein. Es war der einzige in diesem Monat, den er auch in einem Vortrag vorstellte – wohl in der Hoffnung, Astronomen zu interessieren und die Verbindung seiner Theorie mit der Empirie zu knüpfen. Der Titel der neunseitigen Arbeit (die übrigens acht Schreibfehler in den Formeln enthielt, was Einsteins großen Zeitdruck verdeutlicht) war eine kleine Sensation: “Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie”.

Das Perihel bezeichnet den sonnennächsten Punkt einer elliptischen Planetenbahn. Bei Merkur war Astronomen im 19. Jahrhundert aufgefallen, dass sich dieser Punkt langsam verschob. Die Ellipsen beschreiben mit der Zeit quasi eine Rosettenfigur im Raum. Dabei wandert das Perihel um 574 Bogensekunden pro Jahrhundert. Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit bewegt sich Merkurs Bahnellipse also in 225.784 Jahren einmal um die Sonne. Der Effekt beruht größtenteils auf der Gravitationswirkung der anderen Planeten im Sonnensystem, vor allem auf die “störende” Anziehung von Venus und Jupiter. Das erklärt jedoch nicht eine kleine Komponente von 43 Bogensekunden pro Jahrhundert. Alle Versuche, diese Bewegung zu verstehen, scheiterten (so wurde ein unbekannter Planet innerhalb der Merkurbahn vermutet, aber nie gefunden, sowie ein hypothetischer Planetoiden- oder Staubgürtel um die Sonne verantwortlich gemacht oder deren Abplattung).

Zunächst gescheitert

Dass sich Merkur als Testfall für eine Verallgemeinerung der Relativitätstheorie eignen könnte, hatte Einstein schon 1907 erwogen. Einige Wissenschaftshistoriker haben sich gewundert, dass Einstein mit seinen Berechnungen erst im November 1915 wieder auf Merkur zurückkam. Tatsächlich hatte sich dieser aber schon früher ausführlich mit Merkurs Periheldrehung befasst. Das zeigt ein 53-seitiges Manuskript aus dem Jahr 1913, welches im Nachlass von Einsteins Freund Michele Besso gefunden wurde. Darin stehen ausführliche Bahnberechnungen auf der Basis des mit Grossmann entwickelten Entwurfs einer Allgemeinen Relativitätstheorie. Besso wohnte damals in der Nähe von Triest und hatte Einstein im Juni 1913 in Zürich besucht. Der größte Teil der Notizen stammt von dieser Zeit; später hatte sie erst Einstein, dann Besso noch weiter ergänzt. Einstein hatte die Papiere Besso schließlich Anfang 1914 geschickt mit den Worten: “Hier erhältst Du endlich Dein Manuskriptbündel. Es ist sehr schade, wenn Du die Sache nicht zu Ende führst.”

Einstein hat die Notizen wohl nie wieder gesehen, und Besso kam mit den Rechnungen offensichtlich auch nicht weiter. Mit Einstein hatte er zunächst die Feldgleichungen der Entwurftheorie für die Sonne gelöst – ihr Metrikfeld für den statischen und langsam rotierenden Fall (wobei die Auswirkung der Drehung gering ist). Dann hatten sie die Bewegungsgleichungen für eine Punktmasse in diesem Metrikfeld formuliert, um die Richtungsänderung des Orbits um die Sonne zu berechnen. Ergebnis: Die Entwurftheorie sagt etwa 18 Bogensekunden pro Jahrhundert voraus (5/12 des Effekts der Allgemeinen Relativitätstheorie) – also signifikant zu wenig.

Herzrhythmusstörungen vor Freude

Als Einstein im November 1915 die Rechnung mit seinen neuen Feldgleichungen wiederholte, ergab sich zu seiner großen Freude der passende Wert. Zwar waren die Gleichungen damals noch immer nicht komplett, wie er wenige Tage später erkannt hat (der sogenannte Spurterm fehlte noch), doch wirkte sich dieser Mangel nicht auf die Merkur-Rechnung aus, weil dafür nur der bereits richtig formulierte Spezialfall der Gleichungen für das Vakuum nötig war. Tatsächlich konnte Einstein nahezu denselben Rechenweg verfolgen wie gut zwei Jahre zuvor zusammen mit Besso. Deshalb gelang ihm die Berechnung auch so schnell. In seinem Artikel schrieb Einstein, die Merkurbahn sei jetzt “qualitativ und quantitativ erklärt, ohne dass irgendwelche besondere Hypothese zugrunde gelegt werden müsste”, und es bestünde “volle Übereinstimmung” seiner Theorie mit den astronomischen Messungen. Das brachte auch Skeptiker wie Max Planck zum Nachdenken.

“Ich war einige Tage fassungslos vor freudiger Erregung”, erinnerte er sich später an das Ergebnis seiner Merkur-Rechnung und gestand seinem früheren Mitarbeiter Adriaan Fokker, dass er vor lauter Aufregung Herzrhythmusstörungen bekommen hatte. Am 9. Dezember schrieb Einstein an den Münchener Physiker Arnold Sommerfeld: “Es ist der wertvollste Fund, den ich in meinem Leben gemacht habe.” Bereits am 17. November teilte er Michele Besso die neuen Entwicklungen stichwortartig mit: “Ich habe mit großem Erfolg gearbeitet in diesen Monaten. Allgemein kovariante Gravitationsgleichungen. Perihelbewegungen quantitativ erklärt. […] Du wirst staunen. Gearbeitet hab ich schauderhaft angestrengt; sonderbar, dass man es aushält.”

Der letzte Teil des Kampfes

Am 25. November – einem Donnerstag inmitten des im Donnern der Kriegskanonen sich selbst zerfleischenden Europas – beendete Einstein seinen geistigen Kraftakt und reichte den Artikel “Die Feldgleichungen der Gravitation” bei der Berliner Akademie ein, der die vorige Version der Gleichungen komplettierte (der sogenannte Spurterm hatte noch gefehlt).

“Damit ist endlich die Allgemeine Relativitätstheorie als logisches Gebäude abgeschlossen”, heißt es im letzten Absatz der Arbeit triumphierend. “Das Relativitätspostulat in seiner allgemeinsten Fassung, welches die Rauzeitkoordinaten zu physikalisch bedeutungslosen Parametern macht, führt mit zwingender Notwendigkeit zu einer ganz bestimmten Theorie der Gravitation, welche die Perihelbewegung des Merkur erklärt.” Und er betonte, dass jede Theorie, die mit der Speziellen Relativitätstheorie vereinbar ist, in die Allgemeine Relativitätstheorie “eingereiht werden” kann, ohne dass dies “irgendein Kriterium für die Zulässigkeit jener Theorie lieferte”. Die Allgemeine Relativitätstheorie ist demnach nicht nur eine Theorie für die Beschreibung der Gravitation, sondern auch eine Rahmentheorie für andere physikalische Theorien (etwa die klassische Elektrodynamik), wie zuvor schon die Spezielle Relativitätstheorie für den Spezialfall der Inertialsysteme.

Intellektuelle Achterbahnfahrt

“Die kühnsten Träume sind nun in Erfüllung gegangen”, schrieb Einstein am 10. Dezember an Besso. Die letzten Fehler im Gebäude der Allgemeinen Relativitätstheorie waren jetzt beseitigt. Damit stand sie in ihrer bis heute gültigen Form vor den erstaunten und kritischen (und zunächst überwiegend gar nicht interessierten) Augen der Physiker. Bis zu der dann 1916 in den “Annalen der Physik” veröffentlichten ersten Gesamtdarstellung hatte Einstein “mehr als zwölf Arbeiten über Gravitation verfasst und dabei jedes Mal die Schlussfolgerungen der jeweils vorangegangenen Arbeit aufgehoben”, brachte der Physiker Abraham Pais Einsteins intellektuelle Achterbahnfahrt in der ersten wissenschaftlichen Biografie über ihn auf den Punkt.

“Ich hatte im letzten Monat eine der aufregendsten, anstrengendsten Zeiten meines Lebens, allerdings auch der erfolgreichsten. Ans Schreiben konnte ich nicht denken”, blickte der erschöpfte Einstein am 28. November in einem Brief an Sommerfeld auf die Tortur der letzten Wochen zurück. “Das Herrliche, was ich erlebte, war nun, dass sich nicht nur Newtons Theorie als erste Näherung, sondern auch die Perihelbewegung des Merkur […] als zweite Näherung ergab.” Am 9. Dezember bat er ihn, die November-Publikationen mitschickend und das Hin-und-her mit den Feldgleichungen entschuldigend: “Lassen Sie sich nicht dadurch vom genaueren Ansehen der Arbeiten abhalten, dass sich beim Lesen der letzte Teil des Kampfes um die Feldgleichungen vor Ihren Augen abspielt!” Und am 8. Februar 1916 schrieb er ihm: „Von der Allgemeinen Relativitätstheorie werden Sie überzeugt sein, wenn Sie dieselbe studiert haben werden. Deshalb verteidige ich Sie Ihnen mit keinem Wort.”

Auch die Relativitätstheorie muss überwunden werden

Heute, 100 Jahre nach Einsteins Kraftakt, steht die Theorie besser da denn je. Bislang hat sie alle Überprüfungen mit Bravour bestanden – darunter viele, an die Einstein gar nicht gedacht hatte. Zwar kann die Allgemeine Relativitätstheorie nicht das Ende der Fahnenstange physikalischer Erkenntnisse sein – sie muss durch eine noch umfassendere Theorie ersetzt werden, eine Theorie der Quantengravitation. Dennoch ist Einsteins Meisterwerk – zusammen mit dem Standardmodell der Materie – bis heute die tragende Säule der modernen Physik. Und sie wird als Grenzfall auch in einer erweiterten “Weltformel” weiterleben und die Grundlage der modernen Kosmologie bleiben. Albert Einstein hat das wissenschaftliche Weltbild für immer revolutioniert.

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Dieser Text basiert auf einem Kapitel in “Jenseits von Einsteins Universum. Von der Relativitätstheorie zur Quantengravitation”, gerade erschienen im Kosmos-Verlag. Autor ist Rüdiger Vaas, bdw-Redakteur für Physik und Astronomie. Das Buch beschreibt Einsteins Forschung und den spannenden Weg zu seiner grandiosen Theorie der gekrümmten Raumzeit mit allen Irrungen und Wirrungen. Außerdem handelt es von der harten Überprüfung von Einsteins Jahrhundertwerk, seinen philosophischen Konsequenzen, Einsteins eigenen Revisionen sowie den Grenzen der Theorie, an die heute die Physiker stoßen. Denn aktuelle Erkenntnisse über den Urknall, die Schwarzen Löcher und die kosmische Dynamik sowie die Suche nach der Weltformel zeigen: Es muss eine Wirklichkeit jenseits von Einsteins Universum geben. Bestehen Raum und Zeit aus elementaren Bausteinen? Ist die Schwerkraft nur eine Illusion? Die Relativitätstheorie steht auf dem Prüfstand – was wird ihr folgen?

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(Cover: Kosmos)

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