Meine Frau hatte auf einem Flohmarkt einen Sekretär aus dem 19. Jahrhundert erstanden, für den wir weder Platz noch Verwendung hatten. Das Möbelstück war jedoch, wie ich zugeben musste, recht hübsch. Aber sein Lack war zerkratzt und teilweise abgeblättert und musste erneuert werden. Ich wurde darum zu der mühsamen und undankbaren Aufgabe verdonnert, den Sekretär abzubeizen und zu schmirgeln. Dabei entdeckte ich in einer der vielen kleinen Schubladen ein altes, in Leder gebundenes Tagebuch. Ich ließ Beize und Schmirgelpapier liegen und vertiefte mich in das stockfleckige und von Mäusen angefressene Buch.
Es hatte einem Abenteurer und Weltenbummler namens Leonhard Hagebucher gehört, der im Jahr 1848 von Abu Telfan in Darfur aus mit einer Karawane durch die Sahara bis ans Mittelmeer gereist war. Am 29. Juni 1848 geriet die Karawane einige hundert Meilen nördlich der Oase El Saf in einen fürchterlichen Sandsturm, der viele Stunden lang tobte. „Peter und Paul seien Dank!“, notierte Hagebucher, nachdem sich der Sturm gelegt hatte und die Männer sich und ihre Kamele aus dem Sand gegraben hatten. „Der Samum hat keine Opfer gefordert.“ Die nächsten Seiten des Buches waren durch den Mäusefraß fast unleserlich geworden. Aus den wenigen noch erkennbaren Wörtern ließ sich aber erschließen, dass der Sturm die Reste einer zerstörten und vom Sand begrabenen Stadt freigelegt hatte. „Im Zentrum der Ruinen liegt ein kreisrunder, mit grauen Steinen gepflasterter Platz“, konnte ich einige Seiten weiter lesen. „In das Grau des Platzes ist ein rot gepflastertes unregelmäßiges Siebeneck einfügt, dessen sieben Ecken alle an den Umfang des Kreises stoßen. Der Sinn dieser Figur erschließt sich mir nicht. Obwohl der Karwan-Baschi die Karawane zum schnellen Aufbruch gedrängt hat, habe ich mir die Zeit genommen, das Siebeneck ‧genau zu vermessen. Beginnt man mit seiner kürzesten Seite, so ist jede im Uhrzeigersinn folgende Seite um das gleiche Stück länger als ihre Vorgängerin. Die Ecke, an der die kürzeste und die längste Seite zusammentreffen, liegt, vom Mittelpunkt des Platzes aus betrachtet, genau im Norden.“ An diese Zeilen schloss sich eine Liste der Seitenlängen des Siebenecks in Zoll, Fuß und Ruten an.
Als ich meiner Frau beim Abendbrot von dem Tagebuch und Hagebuchers Entdeckung erzählte und ihr die Liste mit den Seitenlängen des Siebenecks zeigte, starrte sie nachdenklich kauend einige Zeit auf die Zahlen. Dann sagte sie: „Ich weiß nicht, welche Längenmaße die Erbauer dieser Stadt kannten, aber es werden mit Sicherheit nicht die von Hagebucher verwendeten sein. Eine Sache springt einem dennoch sofort ins Auge: Rechnet man die von Hagebucher gemessenen Seitenlängen alle in Zoll um und multipliziert dann jede erhalten Zahl mit 1,25, bekommt man sieben Werte, die ganzzahlig und darüber hinaus auch noch Primzahlen sind.“ Mir sprang dies keineswegs ins Auge, aber ich hielt lieber meinen Mund und nickte weise. „Ich vermute, das Saharazoll, mit dem die Erbauer dieser Saharastadt rechneten, war das 1,25-Fache des von Hagebucher verwendeten Zolls“, ergänzte meine Frau und widmete sich wieder mit großem Appetit ihrer Quiche Lorraine.
Wissen Sie, wie viele Saharazoll lang der kleinstmögliche Umfang des Siebenecks war?
COGITO − RÄTSELN SIE MIT!
Teilnehmen kann jeder, außer den Mitarbeitern des Verlags und deren Angehörigen. Der Rechtsweg ist ausgeschlossen.
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Die Lösung des Dezember-Rätsels
Ist die kürzeste Seite des Siebenecks p Saharazoll lang, und ist jede andere Seite um d Saharazoll länger als die Vorgängerin, so sind die Längen der sieben Seiten, in Saharazoll gemessen, die Primzahlen p, p + d, p + 2d, p + 3d, p + 4d, p + 5d und p + 6d. Das Siebeneck hat somit einen Umfang von 7(p + 3d) Saharazoll. Die Primzahl p kann nicht 2 sein, da sonst p + 2d ein Vielfaches von 2 und damit keine Primzahl wäre. Ebenso kann p nicht 3 oder 5 sein, weil sonst p + 3d ein Vielfaches von 3 beziehungsweise p + 5d ein Vielfaches von 5 wäre. Hingegen muss d ein Vielfaches von 2, 3 und 5 und damit von 2 · 3 · 5 = 30 sein. Denn wäre d kein Vielfaches von 2, wäre eine der beiden Zahlen p und p + d durch 2 teilbar und folglich keine Primzahl. Wäre d kein Vielfaches von 3, wäre eine der drei Zahlen p, p + d und p + 2d durch 3 teilbar und somit keine Primzahl. Und wäre d kein Vielfaches von 5, wäre eine der fünf Zahlen p, p + d, p + 2d, p + 3d und p + 4d durch 5 teilbar und damit keine Primzahl. Mit p = 7 und d = 30 erhält man die Seitenlängen 7, 37, 67, 97, 127, 157 und 187, die aber keine Lösung sind, weil 187 = 11 · 17 keine Primzahl ist. Auch die Seitenlängen mit d = 60, 90 und 120 enthalten nicht ausschließlich Primzahlen. Erst ‧p = 7 und d = 150 ergeben nur Primzahlen: 7, 157, 307, 457, 607, 757 und 907. Der Umfang dieses Siebenecks beträgt 7(7 + 3 · 150) = 3199 Saharazoll. Falls p > 7 ist, muss d auch ein Vielfaches von 7 und damit von 2 · 3 · 5 · 7 = 210 sein. Weil aber 7(p + 3 · 210) > 3199 ist, beträgt der kleinstmögliche Umfang des Siebenecks tatsächlich 3199 Saharazoll. Die kürzeste Seite des Siebenecks ist übrigens so kurz, dass man sie in der Zeichnung nicht mehr auflösen kann.
Die Gewinner
Das Los hat unter den richtigen Einsendern entschieden. Wir gratulieren! Je ein Exemplar des Buchs „Von der Vermessung des Kosmos“ von Hélène Courtois erhalten:
Frank Bröker, Frankfurt; Hans Dünhuber, Hörlkofen; Heinz-Georg Kalthoff, Recklinghausen; Gisela Krowas, Putbus; Dr. Winfried Mitaroff, Wien, Österreich
