Als der alte Krämer starb, vermachte er jedem seiner drei Söhne Hinz, Heinz und Hans ein Häuschen sowie ein prall gefülltes Säckchen mit Dukaten. Die drei Häuschen hatten alle den gleichen Abstand voneinander. Sie standen an den Ecken einer großen dreieckigen Wiese, die Hannah erbte, das jüngste Kind des alten Krämers. Sie verpachtete ihren Brüdern die Wiese, die darauf ihre Schafe weideten. Da sie aber von der kleinen Pacht nicht leben konnte, führte sie dem Pfarrer den Haushalt und schlief in einer kleinen Kammer unter dem Dach des Pfarrhauses. Auf der Wiese wuchs eine uralte Eiche. Darunter stand eine Bank. Bei schönem Wetter trafen sich dort abends die drei Brüder, um mit einer Flasche Wein den Tag ausklingen zu lassen.
Nach einigen Jahren wurde Hannah das Leben in dem Dorf zu eng. Sie beschloss, den lieben Gott einen guten Mann sein zu lassen und ihr Glück in Amerika zu suchen. Noch am selben Abend traf sie sich mit ihren Brüdern auf der Bank unter der Eiche und erklärte ihnen, sie wolle ihre Wiese verkaufen. „Was willst du dafür haben?“, fragte Hinz. „Ich möchte drei Gulden pro Morgen haben“, sagte Hannah. „Das ist zu viel“, entgegnete Heinz. Und Hans echote: „Zu viel!“ „Vielleicht solltet ihr erst einmal ausrechnen, wie wenig euch die Wiese bei meinem Preis kosten würde“, schlug Hannah vor – und fügte hinzu: „Bürgermeister Ollendörp interessiert sich übrigens auch für meine Wiese.“ „Tja, vielleicht sollten wir das machen“, sagte Hinz, kratzte sich am Kopf und schaute ratlos seine Brüder an. Doch diese sahen nur zu Boden. Hinz, Heinz und Hans hatten die Weisheit nicht mit Löffeln gefressen.
„Mein Haus ist 150 Meter von hier entfernt“, stellte Hinz fest. „Meines ist 200 Meter von hier entfernt“, sagte Heinz. „Und meines 250 Meter“, ergänzte Hans. Die Längen dieser Wege kannten sie genau, sie waren sie schließlich oft genug gegangen. „Mit diesen Zahlen könnt ihr doch mühelos die Fläche der Wiese berechnen“, behauptete Hannah ohne eine weitere Erklärung. Die Geschwister schwiegen eine Weile. „Ich mache euch einen Vorschlag“, sagte Hannah schließlich: „Wenn ihr es innerhalb von einer Viertelstunde schafft, die Fläche der Wiese zu berechnen, erlasse ich euch ein Viertel des Preises. Schafft ihr es allerdings nicht, zahlt ihr mir ein Viertel meines Preises mehr. Einverstanden?“ Von den vielen Vierteln schwirrten den Brüdern zwar die Köpfe, aber da sie der Meinung waren, Geld mache klug, fühlten sie sich ihrer Schwester haushoch überlegen. „Einverstanden“, sagte Hinz; Heinz und Hans nickten. Aber so sehr sie auch versuchten, die Zahlen zu addieren und zu multiplizieren, zu subtrahieren und zu dividieren, sie entglitten ihnen immer wieder und schienen ihnen ins Gesicht zu lachen.
„Die Viertelstunde ist um“, verkündete Hannah schließlich. „Habt ihr ein Ergebnis?“ Betreten schüttelten die drei Brüder ihre Köpfe. „Der Pfarrer ist nicht nur ein frommer Mann, sondern auch ein Meister der Geometrie und der Arithmetik. Er hat für mich die Größe meiner Wiese vermessen und berechnet.“ Hannah nannte eine Zahl. Hinz, Heinz und Hans gestanden zähneknirschend ihre Niederlage ein und stimmten dem erhöhten Kaufpreis zu.
Wissen Sie, wie viele Morgen groß Hannahs Wiese war? Ein Morgen ist eine Fläche von 2500 Quadratmeter. Die drei Häuschen und die Eiche dürfen Sie der Einfachheit halber als punktförmig annehmen.
COGITO − RÄTSELN SIE MIT!
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Schicken Sie Ihre Lösung bitte bis zum 31. Juli 2024: Das Gewinnspiel ist leider abgelaufen. Mehr Cogito-Rätsel finden Sie hier.
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Die Lösung des Juli-Rätsels
© Illustration: Matthias Schwoerer
Ein Quadrat von 50 m Seitenlänge hat einen Flächeninhalt von 1 Morgen. Deshalb geben wir der Einfachheit halber alle Längen als Vielfache von 50 m an und erhalten dadurch jeden Flächeninhalt in Morgen. Haben die Häuschen A, B und C der drei Brüder alle den Abstand a voneinander, ist Hannahs Wiese ABC ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a. Die Eiche steht am Punkt P und hat von den Häuschen die Abstände 3, 4 und 5. Dreht man das Dreieck APB gegen den Uhrzeigersinn um 60 Grad um den Punkt B, fällt es mit dem Dreieck CQB zusammen. Das Dreieck PQB ist somit gleichseitig, und seine Seiten haben die Länge 4. Das Dreieck CQP hat damit die Seitenlängen 3, 4 und 5; und da 32 + 42 = 52 beträgt, ist es nach dem Satz des Pythagoras rechtwinklig. Folglich hat der grau markierte Winkel BQC eine Größe von 60° + 90° = 150°. Für das Dreieck CQB erhält man nun mit dem Kosinussatz a2 = CQ2 + BQ2 – 2 · CQ · BQ · cos 150° = 32 + 42 – 2 · 3 · 4 · (–½√3) = 25 + 12√3. Das Dreieck ABC hat folglich den Flächeninhalt ¼a2√3 = ¼(25 + 12√3)√3 = ¼(25√3 + 36) ≈ 19,825. Hannahs Wiese ist somit etwa 19,825 Morgen groß.
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Brigitte Böttner, Wolfratshausen; Petra Prinker, München;
Eberhard Schwarzer, Hildesheim; Reinhard Seifert, Limbach-Oberfrohna; Christine Weitzer, Schwindegg
