Monarchien sind im 21. Jahrhundert selten geworden. In nur noch etwa drei Dutzend Ländern herrschen Könige und Königinnen. Im vorletzten Jahrhundert aber gab es eine Unzahl kleiner und großer Königreiche. Eines davon war Frensland. Baron Erich von Wengsel, ein preußischer Diplomat, reiste in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts kreuz und quer durch die alte und die neue Welt. Im Frühjahr des Jahres 1837 hielt er sich für einige Wochen in Frensland auf. „Der Staat und das Königshaus leiden unter ständig leeren Kassen“, schrieb er nach Berlin. „Und König Dagobert III. sinnt ständig darüber nach, wie er seinen Untertanen immer mehr Geld aus den Taschen ziehen kann. Vor einigen Jahren hat er darum eine staatliche Lotterie eingeführt. Jede Woche können seine Untertanen für einen Betrag von 3 Frens, was etwa einem preußischen Silbergroschen entspricht, auf einem Lottoschein sieben Zahlen ankreuzen. ,Wer jede Woche gleich mehrere Scheine ausfüllt, erhöht seine Chancen zu gewinnen‘, lässt er seinen Finanzminister immer wieder verkünden. Jeden Sonntag um drei Uhr nachmittags zieht Prinzessin Simone, die jüngste Tochter des Königs in der großen Halle des Königsschlosses unter den wachsamen Augen des Finanzministers, eines Notars und von über hundert Bürgern und Bürgerinnen die Lottozahlen. Der Prinzessin werden die Augen verbunden, und dann rührt sie mit beiden Händen in einer vor ihr auf dem Tisch stehenden Truhe herum. „Was befindet sich in der Truhe?“, fragte ich den Finanzminister, den ich begleitet hatte und der neben mir stand. „Die Lottokugeln“, erwiderter er. „Wie viele sind es denn?“, wollte ich dann wissen. Der Minister nannte mir eine Zahl. Ich muss zu meiner Schande gestehen, dass ich sie vergessen habe, und werde sie darum der Einfachheit halber X nennen. ,Die Kugeln sind von 1 bis X nummeriert‘, ergänzte der Minister.
Die Prinzessin nahm jetzt nacheinander sieben Kugel aus der Truhe und legte sie, begleitet von wenigen Freudenschreien und vielen Seufzern aus dem Publikum, vor sich auf den Tisch. ,Die Hälfte des für die Lottoscheine eingenommenen Geldes kommt in die Staatskasse, die andere Hälfte wird an diejenigen ausgeschüttet, die sechs oder sieben richtige Zahlen angekreuzt haben. Sollte aber niemand sechs oder sieben Richtige haben, bekommt der König diese Hälfte‘, erklärte der Finanzminister. ,Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es denn, sieben Zahlen aus X Zahlen auszuwählen?‘, fragte ich. Der Finanzminister dachte einen Moment nach. Dann schüttelte er den Kopf und sagte: ,Ihr Preußen wisst und könnt doch immer alles besser als wir Kleinstaatler. Darum seid Ihr doch sicherlich in der Lage, dies schnell selbst ausrechnen.‘ Da hatte er mich bei meiner Ehre gepackt. Obwohl die Mathematik nicht zu meinen Stärken gehört, begann ich zu addieren, multiplizieren und dividieren und nannte ihm schließlich das Ergebnis meiner Bemühungen. ,Hmm!‘, brummte er und begann nun seinerseits zu rechnen. ,Ihr liegt viel zu niedrig‘, sagte er nach knapp einer Minute triumphierend. „Es gibt genau 98 Mal so viele Möglichkeiten, wie Ihr berechnet habt.‘“
Wissen Sie, wie groß der kleinste Wert ist, den die Zahl X der Lottokugeln haben kann?
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Die Lösung des Februar-Rätsels
Sind in der Truhe n Kugeln, gibt es n verschiedene Möglichkeiten, die erste Zahl zu ziehen. Für die zweite Zahl bleiben danach noch n – 1 Möglichkeiten, für die dritte Zahl n – 2, für die vierte Zahl n – 3 und so weiter. Insgesamt sind dies also n(n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4)(n – 5)(n – 6) Möglichkeiten. Da die Reihenfolge der sieben gezogenen Zahlen beim Lotto keine Rolle spielt, muss diese Zahl noch einmal durch die Zahl 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 der verschiedenen möglichen Reihenfolgen geteilt werden. Folglich bleiben nur n(n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4) (n – 5) (n – 6) / (7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1) Möglichkeiten. Da dies ein Vielfaches von 98 sein muss, gilt n(n – 1)(n – 2)(n– 3)(n – 4)(n – 5)(n – 6) / (7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1) = 98m oder n(n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4)(n – 5)(n – 6) / (25 · 32 · 5 · 73) = m. Von sieben aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen ist immer genau eine durch 7 teilbar. Folglich muss eine der Zahlen n, n – 1, n – 2, n – 3, n – 4, n – 5 und n – 6 ein Vielfaches von 73 sein. Die erste Möglichkeit, einen möglichst kleinen Faktor m zu bekommen, ist, dass n, die größte der sieben Zahlen, genau 73 = 343 beträgt. Dann steht im Zähler 343 · 342 · 341 · 340 · 339 · 338 · 337 oder, nach dem Herausziehen der Zweien, 24 · 343 · 171 · 341 · 85 · 339 · 169 · 337. Da aber im Nenner 25 steht, lässt sich der Bruch nicht zu einer ganzen Zahl kürzen. Die nächste Möglichkeit, ein minimales m zu erhalten, ist, dass n – 1 = 73 beträgt. Dann steht im Zähler 344 · 343 · 342 · 341 · 340 · 339 · 338 oder nach dem Herausziehen der Zweien, Dreien, Fünfen und Siebenen 27 · 33 · 5 · 73 · 43 · 1 · 19 · 341 · 17 · 113 · 169. Folglich lässt sich der Bruch auf eine ganze Zahl kürzen, und man erhält m = 22 · 3 · 43 · 19 · 341 · 17 · 113 · 169 = 1.085.354.849.436. Der kleinste Wert, den die Zahl der Lottokugeln haben kann, ist somit n = 344.
Die Gewinner
Das Los hat unter den richtigen Einsendern entschieden. Wir gratulieren!
Frank Burchhardt, Chemnitz; Johannes Conradt, Ludwigsburg; Karin Doser, Ludwigsburg; Astrid Draxl, Wien, Österreich; Norbert Langehanenberg, Münster
