Achtdimensionale Zahlen – so unglaublich es klingt: Die Physiker brauchen sie. Und: Sie könnten im Code des Universums versteckt sein. Doch lange Zeit wurden sie als mathematische Wunderlichkeit diffamiert.
1, 2, 4, 8 – was kommt als Nächstes? Nichts, wenn es nicht um Zahlen geht (dann käme 16), sondern um spezielle Rechensysteme – so genannte normierte Divisionsalgebren. Hier ist 8 die ultimative Zahl – und womöglich ein Schlüssel zur „Weltformel”, einer allumfassenden, von vielen seit langem gesuchten Theorie des Universums. Denn was als exotische Eskapaden viktorianischer Mathematik begann, könnte Tiefsinniges über den Code des Universums enthüllen.
Noch vor 500 Jahren vermochte sich niemand vorzustellen, dass es möglich wäre, neue Zahlen zu ersinnen. Doch um 1550 gelang den italienischen Mathematikern Girolamo Cardano und Raphael Bombelli genau das: Sie notierten die Quadratwurzel aus -1. Aus heutiger Sicht war dies die Geburtsstunde der komplexen Zahlen. Doch es mussten noch über 300 Jahre vergehen, bis man verstand, was sie bedeuten, und wozu sie nützen können.
Es war William Rowan Hamilton, der die „Natur” der komplexen Zahlen erkannte – und herausfand, wie man sie multipliziert. Der vor 200 Jahren geborene irische Mathematiker und Physiker zeigte, dass die komplexen Zahlen gleichsam zweidimensional sind und sich als Punkte in einer Zahlenebene darstellen lassen. Denn sie sind zusammengesetzt aus einer reellen und einer imaginären Zahl. Allgemein schreibt man eine komplexe Zahl als a + b i oder als Paar (a, b).
Nachdem Hamilton 1835, als Dreißigjähriger, erkannt hatte, wie sich komplexe Zahlen multiplizieren lassen – eine Multiplikation mit i entspricht einer Rotation um 90 Grad in der Zahlenebene –, versuchte er die Mathematik in eine neue Dimension zu heben. Wenn es zweidimensionale Zahlen gibt, fragte er sich, warum dann nicht auch dreidimensionale, so genannte Tripletts? Doch so sehr sich Hamilton auch abmühte, er fand kein Rechensystem – keine Algebra – , in der sich solche Tripletts multiplizieren und dividieren lassen. In einem Brief an den älteren seiner beiden Söhne erinnerte er sich viele Jahre später an diese Quälerei: „Jeden Morgen …, wenn ich zum Frühstück herunterkam, fragten mich dein kleiner Bruder William Edwin und du: ‚Nun, Papa, kannst du Tripletts multiplizieren?‘ Und ich musste jedesmal mit einem traurigen Kopfschütteln antworten: ‚Nein, ich kann sie nur addieren und subtrahieren.‘”
Doch eines Tages hatte Hamilton sein Heureka-Erlebnis. Es war am 16. Oktober 1843, als er mit seiner Frau entlang des Royal Canal in Dublin vom Dunsink Observatory zur Royal Irish Academy spazierte. „Da dämmerte es mir, dass wir in gewisser Weise eine vierte Dimension des Raums annehmen müssen, um mit Tripletts zu rechnen”, erzählte er später. „Ein elektrischer Kreis schien geschlossen, und ein Funke sprühte.”
Diese vierdimensionalen Zahlen, Hamilton nannte sie Quaternionen, können als Paare komplexer Zahlen geschrieben werden: (a+bi, c+di). Das lässt sich umformulieren als a + bi + cj + dk. Dabei gilt: ij = –ji = k, kj = -jk = i und ki = –ik = j. Außerdem gilt i2 = j2 = k2 = ijk = -1. Diese Multiplikationsformel war Hamiltons grandiose Einsicht am Royal Canal. Sie gravierte er dort in die Steinmauer der Brougham Bridge ein – „in einem berühmten Akt mathematischen Vandalismus”, wie es der Mathematiker John Baez nannte.
Die Brücke – inzwischen Broome Bridge genannt – steht noch immer. Und seit 1989 veranstaltet die National University of Ireland an jedem 16. Oktober einen Pilgerzug der Mathematiker vom Dunsink Observatory zu ihr, Hamilton zu Ehren. Dessen eingeritzte Einsicht lässt sich allerdings nicht mehr erkennen – der Stein ist mit vielen Graffitis und eingravierten Initialen Liebesbeglückter übersät –, doch eine steinerne Tafel erinnert seit 1958 an Hamiltons grandiose Eingebung.
Doch die mathematische Horizonterweiterung hatte auch ihren Preis: Im Gegensatz zur Multiplikation von reellen und komplexen Zahlen gilt bei Quaternionen das Kommutativgesetz nicht. Es besagt, dass die Reihenfolge der Faktoren keine Rolle spielt: 2 mal 4 ist dasselbe wie 4 mal 2. Nicht so bei Quaternionen: „Die Tugend der Quaternionen ist, dass man sie dividieren kann, und ihr Laster – oder ihr seltsamer Defekt – ist, dass a mal b nicht gleich b mal a ist”, sagt John Baez, Professor an der University of California in Riverside. „Das heißt, die Multiplikation von Quaternionen ist nicht kommutativ. Die Leute waren zunächst schockiert.”
Was anfangs als Defizit erschien, ist in Wirklichkeit ein Vorteil – und zwar gerade für den praktischen Nutzen dieser scheinbar so „abgehobenen” Mathematik. Heute haben Quaternionen viele Anwendungen: in der Quantenphysik, bei Computergrafiken sowie in Kontrolltheorie, Signalverarbeitung und Orbitalmechanik – hauptsächlich für die Repräsentation von Rotationen und Orientierungen, die etwa bei der Bahnkontrolle von Raumfahrzeugen eine wichtige Rolle spielen.
„Das Besondere an zwei Dimensionen ist, dass die Rotation kommutativ ist. In drei Dimensionen trifft das nicht mehr zu”, erläutert John Baez. „Daher ist es nichts Schlechtes, dass das Kommutativgesetz für Quaternionen nicht gilt. Ihre Multiplikation darf nicht kommutativ sein, wenn sie Rotationen in drei Dimensionen beschreiben soll.” Das kann sich jeder leicht selbst verdeutlichen: Man braucht nur dieses Heft vor sich auf den Tisch zu legen, es um 90 Grad nach rechts zu kippen und um 90 Grad nach vorne: die Oberkante ist oben. Kippt man das Heft jedoch zuerst um 90 Grad nach vorne und danach um 90 Grad nach rechts, ist das Ergebnis ein anderes: Der Heftrücken ist oben. Die beiden 90-Grad-Drehungen sind also nicht kommutativ – der Grund, weshalb die Quaternionen bei der Darstellung solcher Vorgänge sehr nützlich sind.
„Bald nachdem Hamilton die Quaternionen beschrieben hatte, konnte er zeigen, dass man mit ihnen viele interessante und nützliche Dinge in der Physik tun kann”, resümiert Baez. So wurde diese Divisionsalgebra sehr populär. Hamilton war von seinen Geschöpfen so begeistert, dass er den Rest seines wissenschaftlichen Lebens mit ihnen zubrachte. 1852 veröffentlichte er die „Lectures on Quaternions”, und kurz nach seinem Tod 1865 erschien das wenige Tage vorher abgeschlossene 800-seitige Riesenwerk „Elements of Quaternions”, an dem er die letzten sechs Jahre seines Lebens gearbeitet hatte. Bald darauf entstand an Universitäten eine „Schule der Quaternionisten”, geleitet von Peter Tait in Edinburgh und Benjamin Peirce in Harvard. Erst nach 1890 gerieten die Quaternionen ins Abseits, weil sie den neu entwickelten Vektorrechnungen unterlegen waren. „ Studenten der Mathematik und Physik hören heute bis zum Vordiplom kaum jemals von ihnen”, sagt Baez.
Die Quaternionen, so exotisch sie wirken, waren aber nicht das Ende der Fahnenstange der Divisionsalgebren. Bald nachdem er von ihnen gehört hatte, konnte John T. Graves sie noch übertrumpfen. Der britische Mathematiker, Hamiltons Freund und früherer Studienkollege, beschrieb Serien von acht Zahlen, bei denen er herausgefunden hatte, wie sie sich multiplizieren und dividieren lassen. Er nannte sie „Oktaven” und berichtete Hamilton in einem Brief vom 26. Dezember 1843 davon. Im Januar darauf schickte er drei weitere Briefe. Hamilton war nicht sonderlich begeistert. „ Nur weil sie größer sind, heißt das nicht, dass sie besser sind”, antwortete er. „Wenn du ein Pferd mit acht Beinen hättest und ich eines mit vier, weiß ich nicht, ob deines doppelt so schnell wäre wie meines.”
Einige Monate später stieß der britische Rechtsanwalt und Mathematiker Arthur Cayley in Cambridge unabhängig von Graves auf die achtdimensionalen Zahlen. Er publizierte seine Entdeckung im März 1845 als Addendum „zu einem ansonsten furchtbaren” (Baez) Artikel über elliptische Funktionen. Cayley nannte die Zahlen Oktonionen, und so (oder Cayley-Zahlen) heißen sie bis heute. Graves hatte das Nachsehen, denn Hamilton, der seine Arbeit in der Royal Irish Academy hätte bekannt machen sollen, vergaß dies vor lauter Begeisterung für die Quaternionen zunächst und holte es erst 1847 nach. Später entdeckte Graves freilich, dass sein „ Acht-Quadrat-Theorem”, die Grundlage der Oktonionen, schon um 1818 von dem dänischen Mathematiker Ferdinand Degen gefunden worden war.
Die Oktonionen sind noch bizarrer als ihre vierdimensionalen Geschwister. Hamilton erkannte, dass bei den Oktonionen nicht nur das Kommutativgesetz, sondern auch das Assoziativgesetz nicht gilt: a . (b . c) ist nicht gleich (a . b) . c. Die Oktonionen sind deshalb die strukturärmste Divisionsalgebra.
Graves suchte zwar noch nach Zahlen mit 16 Dimensionen – er nannte sie „Sedenionen” – sowie mit 32 und 64, fand aber keine Möglichkeit, sie durch beliebige Zahlen außer 0 zu teilen. Inzwischen ist bewiesen, dass dies unmöglich ist. „Um es vereinfacht zu sagen: Als Grave die Sedenionen erreichte, war keine algebraische Struktur mehr für sie übrig”, kommentiert Ian Stewart, Mathematik-Professor an der britischen University of Warwick.
„Man kann nur Multiplikationsregeln aufstellen, mit denen sich in einer, zwei, vier und acht Dimensionen dividieren lässt. Das ist eine rätselhafte Tatsache”, sagt John Baez. Schränkt aber sogleich ein: „Wenn man Mathematik studiert, ist es genau genommen nicht rätselhaft, denn man kann den Grund nennen. Aber es klingt völlig verrückt, wenn man es zum ersten Mal hört.” Und in einem schönen Vergleich fasst der kalifornische Mathematiker den Stand der vieldimensionalen Zahlen zusammen: „Mehrere, sehr verschiedene Beweise haben gezeigt, dass es genau vier normierte – durch jede Zahl außer 0 teilbare – Divisionsalgebren gibt: die reellen Zahlen, die komplexen Zahlen, die Quaternionen und die Oktonionen. Die reellen Zahlen sind der zuverlässige Ernährer der Familie, vollständig geordnet. Die komplexen Zahlen sind ein etwas auffälliger, aber trotzdem ernst zu nehmender kleiner Bruder: ungeordnet, aber algebraisch vollständig. Die nicht kommutativen Quaternionen sind der exzentrische Cousin, der bei den Familienfeierlichkeiten gemieden wird. Aber die Oktonionen sind der verrückte alte Onkel, den niemand aus der Dachkammer lässt: Sie sind nicht assoziativ.” Tatsächlich waren die Oktonionen lange „ausgesperrt” aus der Gedankenwelt der Mathematiker. „Sie schienen nichts weiter als eine viktorianische mathematische Wunderlichkeit zu sein”, sagt Stewart. „Sie waren ihrer Zeit voraus”, kehrt es Baez um, der einen umfangreichen Übersichtsartikel dazu veröffentlicht hat. „Sie sind noch immer nicht populär, sondern mysteriös geblieben. Schon die Arbeiten dazu sind über entlegene Orte verstreut. Ich habe mehrere Jahre gebraucht, um alle Informationen aufzutreiben, zusammenzustellen und neue Theoreme zu beweisen. Es war ein bisschen wie Detektivarbeit, und ich beschäftige mich immer noch damit.”
Um so erstaunlicher wirkt es, dass die Bedeutung der Oktonionen langsam, aber sicher wächst – und zwar nicht nur in der Mathematik. Auch in der Quanten- und Elementarteilchenphysik gibt es seit 1925 erste zaghafte Anwendungen.
Richtig spannend ist das Geschehen an der Front der mathematischen Physik, die nach einer „Weltformel” sucht, einer vereinheitlichten Theorie der Elementarteilchen und Naturkräfte. Die Stringtheorie ist der momentan aussichtsreichste Kandidat dafür – und ausgerechnet in ihr tauchen die Oktonionen überraschend wieder auf. Obwohl alles noch ziemlich spekulativ ist, schreibt Ian Stewart bereits voller Enthusiasmus: „Die einfache 8 ist nicht länger bloß eine Zahl – sie ist unser Schlüssel zum Universum.”
Zentral für die Stringtheorie – wie für alle Elementarteilchentheorien – ist das Konzept der Symmetrie. Symmetrien sind eine wichtige geometrische Eigenschaft und kommen in vielen Varianten vor, etwa der Spiegel- und Rotationssymmetrie. Entscheidend dabei ist: Wenn man etwas einer Symmetrietransformation unterzieht, dann hat es anschließend dieselben Eigenschaften. So lässt sich beispielsweise eine Kreisscheibe um einen beliebigen Winkel um ihren Mittelpunkt drehen, und sie hat dieselbe Lage – bei einem Quadrat ist das nur der Fall bei Drehungen um 90 Grad oder ein Vielfaches davon.
Unter Nichtmathematikern wenig bekannt ist, dass auch Algebren Symmetrien besitzen. Im 19. Jahrhundert wurden sie von dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie klassifiziert. Er fand vier große Familien fundamentaler Symmetriearten, beispielsweise im Hinblick auf Rotationen, die heute „Lie-Gruppen” genannt werden. Aber es gibt fünf seltsame Gruppierungen, die in keine der Familien passen, die „exzeptionellen einfachen Lie-Gruppen” namens G2, F4, E6, E7 und E8. Sie waren lange rätselhaft. Inzwischen ist aber klar, dass sie alle mit den Oktonionen zu tun haben. Sie sind eine Familie für sich, die gleichsam durch die Oktonionen zusammengehalten wird.
Was zunächst wie reine Gedankengymnastik im luftigen Reich der Mathematik wirkt, findet nun auch in der Vorhalle der Physik statt. Die Stringtheorie funktioniert nur in einer zehndimensionalen Raumzeit. Die sechs Extradimensionen sind in unserer Alltagwelt unsichtbar, weil sie der Theorie zufolge winzig klein sind – zusammengerollt oder „kompaktifiziert”, wie die Physiker sagen. Und genau hier sind die Oktonionen wichtig: Die fünf exzeptionellen Lie-Gruppen treten alle als Symmetrien von mathematischen Strukturen auf, die durch die Oktonionen definiert werden. Und Lie-Gruppen wie G2 und E8 werden benötigt, um die Kompaktifizierung der Extradimensionen zu beschreiben. Ian Stewart meint: „Wenn die zehndimensionale Stringtheorie wirklich mit der Realität korrespondiert, dann wäre unser Universum aus Oktonionen-Paaren aufgebaut.”
Noch verblüffender sind Überlegungen von Corinne A. Manogue und Tevian Dray von der Oregon State University in Corvallis, die gleichsam zwei Fliegen mit einer Klappe schlagen wollten. Sie formulierten die Dirac-Gleichung, die physikalische Grundgleichung der Elektronen und Neutrinos, mit Hilfe der Oktonionen um und fanden zu ihrer Überraschung drei Familien dieser Teilchen – genauso viele, wie in der Natur entdeckt worden sind. Aber nicht nur die Familien-Zahl könnte die neue Gleichung erklären, sondern auch, warum unser Universum eine vierdimensionale Raumzeit hat und nicht, wie in der Stringtheorie, eine zehndimensionale. Vielleicht sind die Extradimensionen gar nicht real, sondern bloß abstrakte physikalische Freiheitsgrade der Materie. „Oder eine Symmetriebrechung von den Oktonionen zu den komplexen Zahlen könnte zehn Dimensionen auf vier reduziert haben”, spekuliert Dray. Rüdiger Vaas ■
Rüdiger Vaas
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John C. Baez
The Octonions
Bulletin of the American Mathematical Society, Band 39, Seite 145–205 (2002)
Ohne Titel
• Die zweidimensionalen komplexen Zahlen und die vierdimensionalen Quaternionen sind wichtig für viele Anwendungen der Physik und Computergrafik.
• Die achtdimensionalen Oktonionen sind äußerst seltsam, spielen aber eine Hauptrolle bei der Stringtheorie, dem führenden Kandidaten für eine „Weltformel”.
