Vor 150 Jahren entdeckten die beiden Mathematiker John Graves und Arthur Cayley unabhängig voneinander ein achtdimensionales Zahlensystem, das heute unter den Namen Oktonionen oder auch Cayley-Zahlen bekannt ist. Den Mathematikern verschaffte diese Entdeckung einige geistige Genugtuung, für die Physik schien dieses abgehobene Zahlensystem völlig nutzlos zu sein. Ein Versuch in der ersten Hälfte des vorigen Jahrhunderts, die Oktonionen auf die Teilchen- und Kernphysik anzuwenden, verlief im Sande. Doch für die moderne Stringtheorie, der erhofften “Theorie von Allem”, haben sich die Oktonionen als unverzichtbar erwiesen, wie Ian Stewart von der Universität von Warwick im New Scientist erklärt.
Die Stringtheorie ist der Versuch, die Allgemeine Relativitätstheorie und die Quantenmechanik miteinander in Einklang zu bringen. Das Ergebnis ? so hoffen die Physiker ? wäre eine Theorie, die alle bekannten physikalischen Phänomene beschreiben würde, eben eine Theorie von Allem.
Die Grundbestandteile der Stringtheorie sind nicht wie in der Standardtheorie Teilchen, sondern winzige fadenartige Gebilde, die so genannten Strings. Die bekannten physikalischen Teilchen werden durch Schwingungen dieser Strings erzeugt.
Ob und wie gut diese Theorie funktioniert, hängt von der Anzahl der ? eventuell zum Teil versteckten ? Raumzeitdimensionen in unserem Universum ab. Eine einfach zu handhabende Einbeziehung des quantenmechanischen Teilchenspins ? dem Gegenstück zum klassischen Drehimpuls ? ist nur in einer drei-, vier-, sechs- oder zehndimensionalen Raumzeit möglich.
Warum das so ist, erklärt die Mathematik. Einen Spinor ? das ist das mathematische Objekt, das den Spin beschreibt ? kann man in einer dreidimensionalen Raumzeit eindeutig durch ein Paar reeller Zahlen darstellen. Reelle Zahlen sind die uns geläufigen, normalen Zahlen. Man kann sie auf einer eindimensionalen Geraden einzeichnen. Für einen Spinor aus einer vierdimensionalen Raumzeit braucht man ein Paar komplexer Zahlen, zu denen neben den reellen Zahlen beispielsweise die Wurzel aus minus Eins gehört. Um die komplexen Zahlen bildlich darzustellen, benötigt man eine zweidimensionale Ebene.
Entsprechend benötigt man bei einer sechsdimensionalen Raumzeit das vierdimensionale Zahlensystem der so genannten Quaternionen und schließlich bei einer zehndimensionalen Raumzeit die Oktonionen. Weitere Möglichkeiten gibt es nicht. Mathematiker haben bewiesen, dass die vier genannten Zahlensysteme die einzigen “normierten Divisionsalgebren” sind, die existieren. Nur sie haben die Eigenschaften, die zur einfachen Handhabung der Spinoren erforderlich sind.
Von den genannten vier Möglichkeiten favorisieren die Physiker die zehndimensionale Raumzeit, weil sie viele mathematische Probleme vermeidet, die bei den niedrigeren Dimensionen auftauchen. Demnach wäre unser Universum aus Paaren von Oktonionen aufgebaut. Doch in den letzten Jahren setzt sich eine weitere Version der Stringtheorie immer mehr durch, die elfdimensionale M-Theorie. Aber auch in der M-Theorie spielen die Oktonionen eine entscheidende Rolle ? wenn auch an anderer Stelle: Zum “Einrollen” der für unsere vierdimensionale Raumzeit überzähligen sieben Dimensionen nutzt man die Symmetrieeigenschaften der Oktonionen.
Weiterführende Informationen zu Oktonionen finden Sie in einem Artikel von John Baez im Bulletin of the American Mathematical Society (Bd. 39, S. 145).
Axel Tillemans
