Der Schwerpunkt S muss wegen der Symmetrie der Figur auf der Geraden liegen, die durch den Mittelpunkt M1 der Scheibe und den Mittelpunkt M2 des Lochs läuft. Beim größtmöglichen Loch befindet sich der Schwerpunkt genau auf der Grenze zwischen der Sichel und dem Loch. Die Sichel kann man sich zusammengesetzt denken aus einem vollständigen Kreis mit dem Durchmesser D und einem positiven Flächeninhalt A1 = ¼pD2 und einem Loch mit dem Radius d und einem negativen Flächeninhalt A2 = ¼pd2. Die Schwerpunkte dieser beiden Kreise sind ihre Mittelpunkte. Damit S tatsächlich der Schwerpunkt der gesamten Figur ist, müssen die beiden Produkte aus den Abständen der Mittelpunkte von S mit den entsprechenden Flächeninhalten gleich sein: SM1 · A1 = SM2 · A2. Drückt man die Abstände und Flächen durch die Durchmesser aus, wird daraus (d – ½D) · ¼pD2 = ½d · (–¼pd)2, was sich zu d3 + 2D2d – D3 = 0 vereinfachen lässt. Diese kubische Gleichung hat die drei Lösungen d1 = D, d2 = ( 5 – 1)D/2 < 0,618D und d3 = –( 5 + 1)D/2 < –1,618D. Da der Durchmesser des Lochs größer sein muss als 0 und kleiner als D, kommt nur die zweite Lösung in Frage. Das Loch in der goldenen Scheibe durfte also einen Durchmesser von höchstens 3,71 Ellen haben. Das Verhältnis von Monddurchmesser zu Lochdurchmesser ist bei diesem Grenzfall übrigens der berühmte Goldene Schnitt F.
Die Gewinner
Das Los hat unter den richtigen Einsendern entschieden: DVDs bekommen: Dr. Günter Franke, Dresden; Klaus Gottschalk, Xanten; Othmar Hafner, Künten, Schweiz; Monika Moser, München; Paul Rust, Köln. Wir gratulieren!
