Wer kann eine Kugel nicht von einem Teller unterscheiden? Antwort: ein Topologe. Tatsächlich sind Kugel und Teller topologisch identisch (fachsprachlich: homöomorph) – auch mit einem Weinglas oder einem Bleistift. Die Topologie, früher Analysis situs („Lageuntersuchung”) genannt, ist ein grundlegendes Teilgebiet der Mathematik. Es ist mit der Geometrie verwandt, abstrahiert jedoch von Maßangaben wie Streckenlängen und Winkeln sowie von allen Eigenschaften, die sich etwa durch Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren oder Verdrillen ändern. Es wird also nur das betrachtet, was alle kontinuierlichen Verformungen übersteht. Das ist vor allem die Zahl der Löcher eines Objekts. Kugel und Teller besitzen kein Loch – und somit das topologische Geschlecht Null. Ein Ring oder eine einhenkelige Tasse – die homoömorph sind – haben dagegen genau ein Loch (Geschlecht 1). Sie sind folglich topologisch etwas anderes als ein Brillengestell (Geschlecht 2) oder eine Brezel (Geschlecht 3), denn sie können nicht kontinuierlich durch Verformungen ineinander überführt werden. Eine Veränderung der Topologie erfordert also ein Durchbohren, Aufschneiden oder Zusammenkleben des Objekts. Der Begriff „Topologie” (von griechisch „topos” für Ort und „logos” für Lehre) wurde 1847 von dem Göttinger Mathematiker Johann Benedict Listing in seinem Buch „Vorstudien zur Topologie” geprägt; er hatte ihn in seiner Korrespondenz aber schon einige Jahre vorher verwendet. Als erste topologische Arbeit (und zugleich als Begründung der Knotentheorie) gilt Leonhard Eulers Beweis von 1736, dass es unmöglich ist, so über die sieben Brücken der Stadt Königsberg zu gehen, dass jede Brücke exakt einmal überschritten wird. Beim Spaziergang durch die ostpreußische Stadt muss mindestens eine der Brücken zweimal überquert werden.
Topologie beschränkt sich nicht auf die Charakterisierung konkreter Objekte, sondern beschreibt auch Räume. Das Konzept des topologischen Raums wurde 1914 erstmals von Felix Hausdorff definiert, allerdings unvollständig, und in seiner heutigen Bedeutung 1922 von Kazimierz Kuratowski formuliert. Inzwischen ist dieses Konzept nicht nur in der abstrakten Mathematik angesiedelt, sondern kennzeichnet sogar ganze Universen.
