Zwei grundverschiedene Arten von Kerzenschwingungen sind möglich: Beide lassen sich mit einer Kerze realisieren, durch deren Mittelquerpunkt ein kräftiger Draht als Achse oder Welle gesteckt ist. Unterstützt man die Welle und überläßt die Kerze sich selbst, sucht sie sich die „stabile” Gleichgewichtslage, in der ihr Schwerpunkt senkrecht unter dem Lager der Welle ruht. Um diese Ruhelage herum kann sie wie ein Pendel schwingen. Die Kerze besitzt eine zweite Gleichgewichtslage mit dem Schwerpunkt senkrecht über dem Lager der Welle. Aus diesem „labilen” Gleichgewicht kippt sie wie eine Wippe zur einen oder anderen Seite, wo man sie an einem Anschlag zur Ruhe bringt. Legt man an beiden Enden den Docht frei und zündet ihn an, sind beide Kerzenschwinger – Kerzenpendel und Kerzenwippe – fähig, selbsterregte Schwingungen auszuführen.
Eine Kerzenwippe habe ich vor vielen Jahren in diesem Kabinett behandelt und will sie hier noch einmal kurz beschreiben. Da für ihre Funktion nur der äußerste Teil der Kerze mit Docht und Flamme Bedeutung hat, während die ganze Mitte nur dem Zusammenhalt dient und die Massenverteilung bestimmt, kann man sie billiger und wirkungsvoller aus zwei Haushaltskerzen herstellen, die man der Länge nach von unten auf einen beliebig langen Draht spießt (Vorsicht: in der Achse vorbohren, damit das Wachs nicht ausbricht!). Die quer dazu angeordnete zentrale Welle wird mit dem Rest des Mechanismus durch ein Verbindungselement zusammengefügt, zum Beispiel einen gewöhnlichen Flaschenkorken. Bettet man die beiden Enden der Welle zum Beispiel auf die ebenen Ränder zweier gleich hoher Wassergläser, verfügt der Schwinger über ein außerordentlich reibungsarmes Rollenlager. Nicht zu empfehlen wegen des hohen Reibungswiderstandes ist ein Gleitlager, das entsteht, wenn die Welle in zwei Bohrungen eines feststehenden Ständers gelagert wird. Die Kerzenwippe vollführt eine Kippschwingung, in der ein langsamer Prozeß (das unterschiedlich rasche Schmelzen des Wachses der unteren und der oberen Kerze) einen schnellen Prozeß (das Kippen von einer Seite zur anderen) auslöst.
Das Kerzenpendel wird von einem ganz anderen Selbsterregungsmechanismus angetrieben. Entzündet man die Kerzen in der horizontalen Ruhelage auf beiden Seiten, schmelzen sie allmählich ab, ohne das Pendel in Bewegung zu setzen – man muß es starten. Ist es erst in Bewegung, holt es sich im Takt seiner Schwingung Energie aus einem Speicher, der die potentielle Energie der Kerzen im Schwerefeld enthält. Das ist wenig Energievorrat, der aber ausreicht, die Schwingung erstaunlich lange zu unterhalten, weil die Dämpfung des Pendels dank des „ Rollenlagers” klein und die zur Aufrechterhaltung einer periodischen Schwingung zuzuführende Energie entsprechend gering ist.
Als Maß der Dämpfung des Kerzenpendels findet man durch direkte Beobachtung des Abklingens der freien Schwingung ihr „ logarithmisches Dekrement” p, worunter man den natürlichen Logarithmus des Verhältnisses der Schwingungsweiten des Pendels zu irgendeiner Zeit t und eine Halbschwingung später versteht. Für die unmittelbare Beobachtung ist der Unterschied benachbarter Amplituden zu klein. Deshalb zählt man zum Beispiel die Anzahl n ganzer oder die Anzahl 2n halber Schwingungen, nach deren Ablauf die Schwingungsweite nur noch halb so groß ist. Bei kleinen Schwingungsweiten klingen die Schwingungen exponentiell ab: exp(–2 np) = 1/2 oder p = (ln2)/2n. Ich zählte während der „ Halbwertszeit” n = 16 Schwingungen, woraus sich p = 0,02 errechnet – eine sehr schwache Dämpfung.
Schaut man dem Kerzenpendel aufmerksam zu, entdeckt man, daß das Kerzenwachs, das seinem Antrieb dient, nicht in stetigem Strom abfließt, sondern in einzelnen Tropfen. Das Abtropfen des Wachses geschieht räumlich außen und zeitlich vorzugsweise in der Nähe des unteren Umkehrpunkts der jeweiligen Kerze. Das war zu vermuten, weil der kleine See aus geschmolzenem Wachs am Docht in dieser Lage leicht überschwappt. Es kommt aber auch vor, daß ein Wachstropfen an der Unterseite einer schräg nach oben gerichteten Kerze herunter und zur Mitte läuft. Wenn das geschieht, hat sich vorn an der Kerze möglicherweise eine gespaltene Lippe gebildet, die wie der Tropfschutz gewisser Kaffeekannen funktioniert und das Abtropfen verzögert oder verhindert.
Bläst man die Kerzen vorübergehend aus, stellt sich die Schaukel in die horizontale Gleichgewichtslage ein. Auf beiden Seiten ist also stets ungefähr gleich viel Wachs abgeschmolzen. Das läßt sich an den zylindrischen Kerzen auch mit einem Maßstab nachmessen.
Was bewirkt der Verlust eines Tropfens der Masse Δ m? Er erleichtert die eine oder die andere Seite des Pendels um sein Gewicht g Δ m (g = Schwerebeschleunigung) und erzeugt dadurch ein zusätzliches Drehmoment vom Betrag (lg/2) *Δm um den Drehpunkt A, vorausgesetzt der Tropfen geht außen an der Kerze im Abstand l/2 vom Drehpunkt ab (bei kleinen Winkelausschlägen des Pendels ist der cosφ ungefähr 1, und der Abstand d darf außer Betracht bleiben). Da der nächste Tropfen gleicher oder fast gleicher Größe auf der anderen Seite das Drehmoment lediglich aufhebt, wird im Mittel als Antrieb bestenfalls das halbe Moment ΔM = ±(lg/4) Δm für jeweils eine halbe Schwingung wirksam.
Die Trägheit des Pendels – sein Widerstand gegen Änderung des jeweiligen Bewegungszustandes – drückt sich in dem Trägheitsmoment JA seiner Massenverteilung in Bezug auf die Drehachse A aus. Für eine durchgängige Kerze der momentanen Länge l gilt näherungsweise JA = m(l2/12+d2). Bei anderen Konstruktionen des Pendels, zum Beispiel der von mir benutzten Anordnung mit einem Lochblech als Mittelteil und Klemmen zum raschen Wechseln der Kerzen, ist die Berechnung des Trägheitsmoments umständlicher. Aber generell gilt, daß das Trägheitsmoment alle Massen des Schwingers mit dem Quadrat ihres Abstands von der Drehachse wichtet.
Bei kleinen Winkelauslenkungen j, die wir voraussetzen, lautet die Bilanz des Drehimpulses des Kerzenpendels: JAφ.. + cφ. + mgdφ= ΔM Auf der linken Seite stehen die Anteile der freien Schwingung: der Newtonsche Term aus Trägheitsmoment JA mal Winkelbeschleunigung φ.. (übergesetzte Punkte bedeuten Zeitableitungen), das zur Winkelgeschwindigkeit φ. proportionale Reibungsmoment und das Rückstellmoment des Gewichts, das auf den Schwerpunkt S wirkt. Auf der rechten Seite steht das Antriebsmoment durch den Tropfenverlust. Da die Tropfen nicht gleichmäßig fallen, würde ihre Statistik einer besonderen Untersuchung bedürfen. Ich betrachte deshalb nur den eingeschwungenen Zustand, in dem die Tropfen nach der Beobachtung ziemlich regelmäßig fallen und die Beträge der mechanischen Arbeit des Reibungsmoments (Verlust) und des Tropfenmoments (Antrieb) für jede volle Schwingung gleich geworden sind. Die Halbschwingung soll im unteren Umkehrpunkt der rechten Kerze beginnen: φ (0) = –φ0 und φ. (0) = 0. Bei der anschließenden Aufwärtsbewegung der rechten Seite wirkt, wie oben begründet, außer dem Rückstellmoment des Gesamtgewichts im Mittel das antreibende Drehmoment ΔM = (l / 4)gΔm.
Um die Gleichung übersichtlicher zu machen, dividiere ich die Schwingungsgleichung durch JA und führe weiterhin die Abkürzungen δ = c/2JA (Dämpfungskonstante), ω0 =√ mgd/JA (Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung) und Δ = (lg/4JA)ΔM (Antriebsmoment, geteilt durch JA) ein: φ.. + 2 δφ. + ω 02φ = Δ Die zur Zeit t = 0 bei φ = – φ0 aus der Ruhe beginnende Bewegung ist eine Schwingung mit der reduzierten Frequenz ω = √ω02- δ2die sich nach bekannten Routinen gewinnen läßt: φ (t) = Δ/ω02 – e–δt (φ0 +Δ/ω 02)*((δ/ω)sinωt + cosωt). Da eine halbe Schwingung t = π/ω lang dauert, ist δ = pω/π (mit dem logarithmischen Dekrement p) sehr klein gegen w. Die Frequenz ω ist daher von der Frequenz ω0 der ungedämpften Schwingung praktisch nicht zu unterscheiden. Damit die Schwingung periodisch ist, muß φ (π/ω) = +φ0 werden. Im übrigen gilt auch φ. (π/ω) = 0, das heißt, φ0 ist ein Umkehrpunkt der Schwingung. Unter Berücksichtigung der Kleinheit der Zahl p und der Bedeutungen von ω0 und Δ ergibt sich die einfache Bedingung: φ0 = (1/2p)(l/d)( Δm/m) Das Gleichgewicht zwischen Dämpfung und Antrieb bestimmt die Amplitude der Schwingung. Mit plausiblen Werten für die Parameter, p = 0,02, l = 10 cm, d = 0,6 cm, m = 30 g, Δm = 0,02 g (aus einer Tropfenzählung), folgt für die Schwingungsweite φ0~16 Grad. Der Zahlenwert hat die richtige Größenordnung. Man darf ihn aber nicht genauer nehmen, als er ist. Wegen der vielen Ungenauigkeiten bei der Schätzung der Parameter wäre ein zahlenmäßig exaktes Ergebnis reiner Zufall. Vielleicht fühlt sich mancher Leser nun angeregt, die Tropfenbildung und den Einschwingvorgang der Kerzenschwingungen genauer zu untersuchen.
Wolfgang Bürger
