Peter Scholze galt schon länger als heißer Favorit für die Fields-Medaille. Denn bereits als 22-jähriger Student sorgte er weltweit für Aufsehen in der Mathematiker-Gemeinschaft, als er einen 228 Seiten lange Beweis in der Zahlentheorie auf neue Weise löste – in schlanken 37 Seiten. Mit nur 24 Jahren wurde er zum Professor am Hausdorff-Zentrum für Mathematik der Universität Bonn ernannt und forscht seither im Grenzbereich von Zahlentheorie und Geometrie. “Es gibt eine starke Beziehung zwischen Algebra und Geometrie”, erklärt Scholze. So lassen sich beispielsweise geometrische Konstrukte verwenden, um Lösungen für polynomische Gleichungen und auch Primzahlen besser zu verstehen. “Für die ganzen Zahlen wird dieser Raum mit Spec(Z) bezeichnet, das sogenannte Spektrum. Die Punkte in diesem Raum entsprechen den Primzahlen”, so der Mathematiker.
Scholze: “Perfektoide Räume” im alternativen Zahlenraum
Scholze hat diese geometrischen Konstrukte um sogenannte perfektoide Räume erweitert. Diese neuen Strukturen erlauben es, die ganzen Zahlen besser als bislang als geometrisches Gebilde zu interpretieren. “Ein Teil meiner Arbeit besteht darin, Spec(Z) geometrischer zu machen, jedenfalls in kleinen Umgebungen von Primzahlen”, erläutert Scholze. Dabei arbeitet der Mathematiker mit sogenannten p-adischen Zahlen. In diesem alternativen Zahlensystem gelten Zahlen dann als nahe beieinander, wenn die Lücke zwischen ihnen möglichst oft durch den Faktor p teilbar ist. “Die p-adischen Zahlen in der Zahlentheorie entsprechen den Potenzreihen für Funktionen in der Analysis”, so Scholze. “Ich habe Methoden entwickelt, mit denen man diese p-adischen Zahlen geometrisch besser verstehen kann.” Damit hat der Mathematiker das Methodenspektrum der Arithmetischen Geometrie grundlegend erweitert, gleichzeitig werden neue Rückschlüsse auf offene zahlentheoretische Fragestellungen möglich.
Obwohl Scholze schon länger als Favorit für die Fields-Medaille galt, war die Freude groß: “In dem Moment, in dem ich die Nachricht bekam, war ich schon euphorisch. Obwohl – oder gerade weil – mir vorher von allen Seiten nahegelegt wurde, dass ich die Fields-Medaille ‘ja eh bekomme’, war es doch eine große Überraschung und Freude, den Preis tatsächlich zu erhalten”, erzählt er. “Der Preis bedeutet mir eine große Anerkennung meiner Arbeit.” Trotz dieser hohen Auszeichnung sieht sich der junge Forscher aber gerade erst am Anfang seiner Arbeit: “Mein Ziel ist es generell, mathematische Strukturen besser zu verstehen”, sagt er. “Und mit der mathematischen Forschung habe ich doch gerade erst angefangen.”
Geometrie, Topologie und der optimale Transport
Neben Peter Scholze haben drei weitere Preisträger die Fields-Medaille erhalten. Der 36-jährige Akshay Venkatesh wurde für seine Arbeiten in der analytischen Zahlentheorie und Topologie ausgezeichnet. Der in Indien geborene Mathematiker hat unter anderem das Konzept der homologischen Stabilität entwickelt, ein Konzept das es erlaubt, topologische Objekte auf neue Art zu beschreiben und mit der Zahlentheorie zu verknüpfen. Ähnlich wie Scholze beschäftigt er sich auch mit Teilaspekten des Langlands-Programms, einer komplexen Sammlung von Theoremen und Verknüpfungen zwischen Zahlentheorie, Geometrie und Analysis. Der 40-jährige Caucher Birkar wurde als Kind kurdischer Bauern im Iran geboren und kam nach seinem Studium in Teheran als Flüchtling nach Großbritannien. Er arbeitet auf dem Gebiet der algebraischen Geometrie – auch hier geht es um die Darstellung und Lösung polynomischer Gleichungen mit Hilfe der Geometrie. Er hat unter anderem einen neuen Beweis für eine spezielle Art solcher algebraischen Formen aufgestellt, die sogenannte Fano-Varietäten.
