Dreidimensionale topologische Räume können anhand verschiedener Eigenschaften charakterisiert werden: Sie sind
· unendlich groß oder endlich (und somit oft „kompakt”, das heißt in allen Dimensionen ähnlich „klein”),
· homogen (überall gleichförmig) oder inhomogen,
· isotrop (in jede Richtung gleichartig) oder anisotrop,
· einfach oder mehrfach verbunden (je nachdem, ob sich geschlossene Kurven, beispielsweise ein Kreis, ohne Zerschneiden zu einem Punkt zusammenziehen lassen oder nicht),
· orientierbar (beliebige Bewegungen ändern die Händigkeit nicht – ein linker Handschuh wird beispielsweise nicht zum rechten) oder nichtorientierbar,
· und global euklidisch („flach”), sphärisch oder hyperbolisch.
Es gibt genau 18 topologisch verschiedene euklidische Räume. 10 davon sind kompakt, 8 nicht. 10 sind orientierbar, 4 kompakte und 4 nichtkompakte sind es nicht. Homogen und isotrop ist nur der einfach verbundene unendliche Raum. Homogen, aber anisotrop ist die einfachste kompakte Raumform, der Hypertorus, genau wie 2 nichtkompakte Räume. Die übrigen 14 sind inhomogen.
Es existieren unendlich viele sphärische Räume. Sie wurden bis 1932 vollständig klassifiziert. Homogen und isotrop sind nur die Hypersphäre und der sogenannte projektive Raum. Alle anderen sind anisotrop und entweder homogen oder inhomogen.
Es gibt auch unendlich viele hyperbolische Räume. Sie sind bis heute nicht vollständig klassifiziert. Nur einer davon ist homogen und isotrop: der einfach verbundene unendlich große. Alle anderen sind global inhomogen und anisotrop.
