„Kannst Du Dir die vierte Dimension vorstellen?”, fragte mich unlängst mein Freund Peter. Wir treffen uns einmal im Monat, reden über dies und das, und trinken dabei das eine oder andere Bier. Mir war es fast peinlich, ihm antworten zu müssen: „ Vorstellen? Nein!” Rechnen können wir Mathematiker in vierdimensionalen Räumen ohne Probleme. „Aber wenn ich ehrlich bin, übersteigt der vierdimensionale Raum meine Vorstellungskraft.” Peter war enttäuscht: „Das hätte ich von euch Mathematikern aber erwartet.”
Was sagt man darauf? Guter Rat war teuer, und so schauten wir in unsere Biergläser, nahmen einen Schluck und stellten die Gläser wieder ab. Da kam mir eine Idee: „Vielleicht kann ich dir doch was erklären. Du weißt doch, was ein Würfel ist. Es gibt auch einen vierdimensionalen Würfel, einen Würfel im vierdimensionalen Raum. Und ich kann dir alles über diesen vierdimensionalen Würfel erzählen.”
„Das hört sich schon besser an”, murmelte Peter und forderte mich auf: „Dann mal los mit deinem 4D-Würfel!” Ich griff nach einem Bierdeckel und sagte: „Zuerst gehen wir vom dreidimensionalen Würfel einen Schritt zurück und betrachten einen 2D-Würfel.” „Wie bitte?” Peters Erstaunen war echt. „Ein zweidimensionaler Würfel ist nichts anderes als ein Quadrat.” Das verstand er sofort: „Klar, lauter rechte Winkel und vier Ecken.”
„Wunderbar. Zählen wir zuerst die Ecken. Das Quadrat hat 4, der Würfel 8, und der 4D-Würfel also” – ich machte eine kleine Pause, um ihm eine Chance zu geben – „genau: 16.” „Und wie viele Kanten?” Peter war mutig geworden. „Schauen wir uns erst mal an, wie viele Kanten durch eine Ecke gehen. Beim Quadrat sind es 2, beim Würfel 3, und beim vierdimensionalen Würfel”, hier hob ich suggestiv die Stimme, „sind es 4.”
„Was gibt es noch?” „Gute Frage. Beim Quadrat gibt es Kanten, beim Würfel Quadrate, und bei unserem 4D-Würfel also – 3D-Würfel!” „Aber wie viele?”, fragte Peter. „Wenn du es wirklich wissen willst: Wie viele 3D-Würfel sitzen an einer Ecke des 4D-Würfels?”
„Es gibt 4 Kanten – und je drei bilden einen Würfel. Und da man aus 4 Kanten auf genau 4 Weisen 3 auswählen kann, gibt es 4 3D-Würfel an jeder Ecke.”
„Das heißt insgesamt …?” „Na ja, 16 Ecken mal 4. Das gibt 64. Aber jeder 3D-Würfel hat 8 Ecken und kann von jeder Ecke aus betrachtet werden. Also gibt es insgesamt genau 64 geteilt durch 8 gleich 8 normale Würfel im 4D-Würfel.” Peter nahm einen tiefen Schluck. „Vorstellen kann ich mir den 4D-Würfel aber immer noch nicht.” „Pass auf. Wie würdest Du einen normalen 3D-Würfel bauen?” Spontan antwortete Peter: „Die Seitenflächen des Würfels ausschneiden und zusammenkleben.” „Genau. Könnte man die Seitenflächen schon so zusammenhängend ausschneiden, dass man nur wenige Kanten kleben muss?”
Nach einer Sekunde fiel es Peter ein: „Vier Quadrate in einer Reihe von oben nach unten und dann noch rechts und links eins dran.”
„Super!”, sagte ich, „das nennt man ein Netz des Würfels. Und genau so geht es auch beim 4D-Würfel.” „Wieso – genau so?”
„Natürlich mit einer Anpassung. Das Netz ist im dreidimensionalen Raum, nicht in der Ebene, und besteht aus normalen 3D- Würfeln. Vier übereinander, und dann noch einer rechts, einer links, einer vorne und einer hinten.”
„Und das soll ich mir vorstellen können?” „Warum nicht, ist doch nur im dreidimensionalen Raum!”, lästerte ich. „Salvador Dalí hat ein Bild mit genau dieser Konstruktion gemalt: Eine Kreuzigungsszene, wobei das Kreuz das Netz eines 4D-Kubus ist.”
„Wie üblich bei Dalí. Gotteslästerlich, aber genial”, behielt Peter wie immer das letzte Wort.
