„Du hast mir schon oft erzählt, dass Zahlen interessant sind. Gibt es eigentlich Zahlen, die absolut super sind?” Manchmal stellt mein Sohn Christoph einfach so eine Frage, die es in sich hat.
„Also”, überlegte ich, „die alten Griechen kannten Zahlen, die sie ‚vollkommen‘ nannten.”
„Und welche sind das?”
„Zum Beispiel die 6.”
„Warum?”
„Die Griechen betrachteten die Teiler einer Zahl. Die Teiler von 6 sind …?”
„2 und 3″, wusste Christoph.
„Ja, nun nimm auch noch die 1 dazu, und dann zähle alle Teiler zusammen.”
„1 plus 2 plus 3 gibt 6.”
„Genau. Das versteht man unter einer vollkommenen Zahl: Wenn die Summe ihrer Teiler die Zahl selbst ergibt.”
Christoph wusste nicht, wie schwierig das Problem ist. Er probierte: „8 hat die Teiler 1, 2 und 4. 1 plus 2 plus 4 gibt 7.”
„Und daher ist 8 keine vollkommene Zahl. Vollkommene Zahlen sind selten. Die nächste ist 28.”
„Wie bitte? Das ist ja genau mein Geburtstag!” Tatsächlich ist Christoph an einem 28.06. geboren. Er rechnete sofort los: „Die Teiler von 28 sind 1, 2, 4, 7 und 14. Die Summe ist 1 plus 2 plus 4 plus 7 plus 14 gleich 28.”
Nach einer Weile fragte er: „Wie kann man rauskriegen, welche Zahlen noch vollkommen sind? Gibt’s dafür eine Formel?” Damit hatte er den entscheidenden Punkt getroffen.
„Um das rauszukriegen, muss man sich die Teiler der vollkommenen Zahlen ansehen. Zum Beispiel ist 6 gleich 2 mal 3.”
„Und 28 ist 4 mal 7.”
„Die nächste vollkommene Zahl ist 496, 16 mal 31. Fällt Dir was auf?”
„Die zweite Hälfte dieser Teiler, also 3, 7 und 31, ist immer eine Primzahl.”
„Und der erste Faktor?” fragte ich.
„Die erste Hälfte besteht aus 2, 4 und 16. Wahrscheinlich geht es mit 32 weiter.”
Ich bremste ihn: „Halten wir vorsichtig fest: Der erste Faktor ist eine Potenz von 2.”
„Und der zweite ist 3, 7, 31. Das sind die Primzahlen!” strahlte er.
„Genau. Aber nicht irgendwelche. Die beiden Faktoren stehen in einer bestimmten Beziehung.”
Christoph rätselte.
„Vergleiche doch mal die beiden Faktoren: 2 und 3, 4 und 7 und 16 und 31.”
„Der erste ist so ungefähr die Hälfte des zweiten.”
„Sehr gut. Wenn man den ersten Faktor verdoppelt, erhält man eine Zahl, die um genau 1 größer ist als die Primzahl.”
Christoph musste das überprüfen: 2 mal 2 ist 4, und das ist 1 mehr als 3. 2 mal 4 ist 8, und 7 ist genau 1 weniger. 2 mal 16 ist 32, und 31 liegt genau 1 drunter.
Ich bestätigte: „Für die vollkommenen Zahlen braucht man solche Primzahlen, die eine Zweierpotenz minus 1 sind. Wenn man eine solche Primzahl mit der Hälfte der Zweierpotenz multipliziert, erhält man eine vollkommene Zahl.”
Christoph war beeindruckt: „Problem gelöst. Das freut euch Mathematiker doch.”
„Du hast recht. Allerdings …”
„Ja?”
„… allerdings gibt es dabei immer noch ein Problem. Beziehungsweise zwei.”
„Aha.”
„Zum einen sind es die Primzahlen. Obwohl es Primzahlen ohne Ende gibt, sind die speziellen, die wir brauchen, also von der Sorte Zweierpotenz minus 1, ganz selten. Das heißt, wir wissen nicht, wie viele es gibt. Wir kennen jedenfalls nur ganz wenige. Genauer gesagt nur 44 Stück.”
„Und das zweite Problem?” Christoph war unerbittlich.
„Alles, was wir überlegt haben, gilt nur für vollkommene Zahlen, die gerade Zahlen sind.”
„Und die ungeraden?”
„Tja. Kein Mensch weiß, ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt. Bisher hat noch keiner eine gesehen. Ein echtes ungelöstes Problem der Mathematik.”
Christoph war beeindruckt, hatte aber für heute genug.
