Im Advent treffen wir sie jedes Jahr auf dem Christkindlesmarkt wieder – die kleinen hölzernen Figuren, die behende an der Schnur hochklettern. In ihrer Heimat, dem Erzgebirge, sind sie traditionell Bergsteiger, aber wir sehen auch Clowns, Schornsteinfeger und Kletteraffen. 6 Zentimeter mißt der Klettermann made in Germany, 7,5 sein Konkurrent aus Italien.
Ziehen wir die Schnur straff, streckt sich der kleine Mann und schiebt die Hände gegen den Widerstand der rauhen Schnur nach oben, als wolle er am Seil nachfassen. Lassen wir die Schnur locker, klammern sich die Hände daran fest, und das Männchen zieht die Beine an, während die Schnur zwischen den Knien nach unten hindurchgleitet. Strecken und Beugen – so bringt der Klettermann Schritt für Schritt die Schnur hinter sich.
Ich bewundere den unbekannten Erfinder, der mit einfachsten Mitteln durch kluges Ausnutzen von Haften und Gleiten zwischen Schnur und Körper und geschicktem Einsatz des Hebelgesetzes ein Spielzeug geschaffen hat, das die Illusion des Kletterns nahezu vollkommen verwirklicht.
Es ahmt die Bewegungen eines echten Seilkletterers nach. Die zum Strecken des Körpers nötige Arbeit kann der Klettermann allerdings nicht selbst leisten – wir müssen ihm dabei helfen.
Spurensuche: Woher kommt dieses Spielzeug, und wie alt ist es? Bei der Spurensuche in der Vergangenheit des Klettermanns stießen wir auf einen erzgebirgischen Spielzeugmacher aus Seiffen, der die Kletterfigur im Jahre 1957 als Gebrauchsmuster anmeldete. Er hielt sich aber selbst nicht für den Erfinder, sondern nannte ein Plastikspielzeug aus der Lausitz als Vorbild – und da verliert sich die Spur. Inzwischen hat das Erzgebirge Konkurrenz im Südtiroler Grödnertal bekommen, wo man sich sogar einen vereinfachten Haftmechanismus an den Händen einfallen ließ, der aber weniger wirkungsvoll ist.
Elemente: Auf das Wesentliche reduziert, bildet der Klettermann einen beweglichen Winkel (a) mit dem Scheitel im Hüftgelenk am Gesäß G und zwei gleich langen Schenkeln (Länge l), dem Armhebel und dem Beinhebel. Wir haben im Institut ein großes Funktionsmodell dieses Mechanismus aus Holzleisten, Schrauben und Federn gebaut, an dem wir die Parameter variieren und Messungen vornehmen können. Das Modell ist eindrucksvoll, aber es ist so groß, daß die Länge meiner Arme nur für zwei bis drei Schritte ausreicht.
Die Schnur schlingt sich von der Hand H über das Knie K zum Fuß F. Zwischen Kopf und Fuß (bei den “Italienern” von der Hand zum Knie) spannt sich ein weiches Gummiband, das die Funktion der Bauchmuskulatur hat und beim Lockerlassen der Schnur das selbsttätige Anziehen der Beine besorgt: der Rückholgummi.
Egal zwischen welchen Punkten der Gummi gespannt ist, die von ihm herrührende Federkraft F zwischen Hand und Knie ist eine Funktion des Öffnungswinkels a, F(a), die man sich für einen Gummi mit bekanntem Elastizitätsgesetz ausrechnen oder aber – bei ungespannter Schnur – mit einer Federwaage ausmessen kann. Die Gesamtkraft zwischen der Hand H und dem Knie K ist die Summe der inneren Schnurkraft S’ in der Schnur und der Spannkraft F des Gummis, S’+ F.
Wichtig sind die unterschiedlichen Hebelarme l beziehungsweise l – d am Arm- und am Beinhebel, die dafür sorgen, daß die innere Schnurkraft S’ zwischen Hand und Knie größer werden kann als die Kraft S, mit der außen an der Schnur gezogen wird. Nur wenn S’ erheblich größer als S ist, kann die Hand in der Streckphase an der Schnur entlang nach oben gleiten oder, was das gleiche ist, die Schnur an der Hand nach unten durchgezogen werden.
Zwei grundverschiedene Haftmechanismen: Wenn sich der Klettermann beim Strekken mit den Beinen und beim Beugen mit den Händen an der Schnur festhält, sind an den Berührstellen Haftkräfte am Werk, die erfolgreich Widerstand gegen Verschiebung leisten. Für die Funktion des Spielzeugs ist es entscheidend, daß die Haftung an den Beinen durch “Selbsthemmung” wirkt. Das heißt: Je stärker an der Schnur gezogen wird, desto fester kann der Kletterer haften. Die Haftkraft an den Händen ist dagegen durch eine vom Schnurzug so gut wie unabhängige “Haftgrenze” beschränkt. An den Händen und den Beinen wirken also zwei ganz verschiedene Haftmechanismen.
Die unterschiedlichen Hebelarme am Arm- und am Beinhebel, die ungleichen Haftmechanismen an Händen und Beinen und die Spannkraft des Rückholgummis machen das Klettern möglich. Das gilt allerdings nur dann, wenn die Parameter aufeinander abgestimmt sind.
Auf den Christkindlesmärkten begegnet man gelegentlich Klettermännern, vor allem solchen aus Fernost, die zwar in guter Absicht, aber bis zur Funktionsuntüchtigkeit glatt lackiert sind. Vor ein paar Jahren habe ich auf einem Weihnachtsmarkt eine ganze Serie solcher Klettermänner billig erstanden und mit einem Messer und etwas Sandpapier in kurzer Zeit flottgemacht.
Bei großen Klettermännern – mein größter Mann mißt einen Meter – läßt sich der Einfluß des Gewichts nicht mehr vernachlässigen. Damit der große Klettermann nicht in der Beugephase an der Schnur nach unten rutscht, braucht man große Haftkräfte, deren Überwindung beim Strecken einige Mühe macht.
Bei dem erzgebirgischen Klettermann wird die Schnur zwischen den elastisch aufeinandergepreßten Händen festgehalten. Die Kletterschnur haftet an den Händen, sofern sich die Schnurkräfte S und S’ zu beiden Seiten der Hände um weniger als die größtmögliche Haftkraft oder “Haftgrenze” H0 unterscheiden, |S’ – S| H0. Wird diese Haftbedingung verletzt, rutscht die Schnur nach unten oder oben durch, je nachdem, ob S’ größer ist als S oder umgekehrt.
Die Haftgrenze an den Händen: Die Haftgrenze H0 hängt nach der Modellvorstellung der technischen Mechanik nur von der Anpreßkraft und der Rauhigkeit der berührenden Flächen ab und ist jedenfalls unabhängig von den Schnurkräften. Allerdings winkelt der Holzstift an den Händen die Schnur doch etwas ab. Daher tritt auch an den Händen Selbsthemmung ein, die aber wegen der Geringfügigkeit der Richtungsänderung nur wenig zur Haftkraft beiträgt und vernachlässigt wird.
In unserem Funktionsmodell haben wir die Schnur an der entsprechenden Stelle durch ein Kugellager umgelenkt, um den unerwünschten Effekt auszuschließen. Bei dem Klettermann aus dem Grödnertal läuft die Kletterschnur an der Hand unter dem Rückholgummi durch, der mehrfach um den Holzstift geschlungen und festgezurrt ist, und die Haftgrenze liegt wohl etwas niedriger.
Die Selbsthemmung an den Beinen: Die Schnur wird am Knie K und am Fuß F durch zwei Holzstifte umgelenkt. Wird sie am einen Ende mit der Kraft S gehalten, kann man auf der Gegenseite mit einer viel größeren Kraft S’ an ihr ziehen, bevor sie zu rutschen beginnt. Sie zieht sich fest wie an einem Poller das Seil des Matrosen, der mit einer Hand mühelos ein großes Schiff an der Landungsbrücke halten kann, wenn er das Halteseil mehrfach um den Poller schlingt. Der Unterschied zwischen S’ und S wird durch Haftkräfte am Holzstift aufgebracht, deren Größe von der Schnurkraft selbst abhängt, weshalb man von Selbsthemmung spricht.
Außer mit S wächst die Obergrenze der Haftkraft, die am Kontakt aufgebracht werden kann, sehr rasch (exponentiell), mit dem Umlenkwinkel f der Schnur: S’ S exp(m0f). Der Winkel f ist die Summe der Richtungsänderungen der Schnur am Knie und am Fuß, m0 ein Haftungskoeffizient.
Wenn der Matrose sein Seil nur zweimal um den Poller legt (f = 4p), kann die Kraft S’ schon bei geringer Rauhigkeit des Pollers ein Vielfaches der Kraft S betragen, mit der er zieht, ohne daß das Seil ins Rutschen kommt, bei m0 = 0,2 zum Beispiel das 11fache.
Übrigens macht jedermann unbewußt von dem Effekt Gebrauch, wenn er einen Bindfaden zerreißt: Er schlingt die Schnur mehrfach um die Hand, um sie fester im Griff zu haben. Ist die Schnur zu kurz, gelingt das nicht, sie rutscht weg und läßt sich nicht zerreißen.
Wolfgang Bürger
