Wenn ungleiche Kugeln sich stoßen. Anders als die gleich großen „Klick-Klack”-Kugeln verhalten sich verschieden schwere Kugeln recht eigenwillig. Die Mechanik dahinter erklärt auch, wie ein Bohrhammer funktioniert.
In den Physikalischen Sammlungen des Deutschen Museums in München steht ein unauffälliges Pendel. In einem stählernen Rahmen sind eine große und eine kleine Stahlkugel an je zwei Fäden in gleicher Höhe aufgehängt und können sich in der tiefsten Lage stoßen. Aufmerksame Beobachter stellt das Spielzeug vor ein Rätsel: Lenkt man die kleine Kugel aus der Ruhe aus, schwingt sie zurück und stößt gegen die große. Sie setzt sie in Bewegung und prallt dabei selbst ein Stück zurück. Danach schwingen beide Pendel eine Halbperiode und stoßen sich bei der Rückkehr an derselben Stelle zum zweiten Mal. Die große Kugel kommt nun zur Ruhe, und die kleine schwingt auf ihre ursprüngliche Höhe zurück. Dieser Vorgang wiederholt sich. Offenbar gibt es nur zwei Zustände der Bewegung, auch wenn man das Pendelspiel in anderer Weise startet. Wie kann man das verstehen?
Impulsgerade und Energie-Ellipse: Stoßen sich die Kugeln im rechten Winkel zu den Aufhängefäden, üben sie nur Stoßkräfte aufeinander aus, und ihr Gesamtimpuls po bleibt im Stoß ungeändert. Mit den Bezeichnungen m und M für die Massen sowie v und V für die Geschwindigkeiten der Kugeln (ohne Index nach dem Stoß und mit Index 0 vor dem Stoß) gilt nach dem Satz der Impulserhaltung:
MV + mv = MVo + mvo = po
Für den ersten Stoß gilt speziell Vo = 0, weil die große Kugel anfangs ruht, und vo = – Ö2gh, wenn die kleine Kugel in der Höhe h losgelassen wird und von rechts nach links fliegt. Dabei ist g » 10 m/s2 die Schwerebeschleunigung auf der Erde.
Die Zustände vor und nach dem Stoß, definiert durch die Geschwindigkeiten beider Kugeln, lassen sich als Punkte in einer Geschwindigkeitsebene mit den Koordinatenachsen v und V darstellen. Der Erhaltungssatz des Impulses ist darin eine Gerade: die Impulsgerade, die den Ausgangszustand A (vo, Vo) mit allen Zuständen (v, V) verbindet, die mit der Impulserhaltung verträglich sind.
In welchen Punkt B der Impulsgerade das Zweikugelsystem durch den Stoß gebracht wird, hängt vom Material und von der Oberflächenbeschaffenheit der Kugeln ab. Verwenden wir polierte Kugeln aus einem hervorragend elastischen Material, wie es Stahl ist, geht in einem Stoß außerordentlich wenig Bewegungsenergie durch bleibende Verformungen und Erwärmung der Kugeln verloren. Unter dieser Voraussetzung bleibt die Summe der Energien mv2/2 beziehungsweise MV2/2 beider Kugeln, die Gesamtenergie Eo, beim Stoß unverändert (Energieerhaltung): MV2/2+ mv2/2 = MVo2/2 + mvo2/2 = Eo.
Auch diese Gleichung läßt sich im Geschwindigkeitsplan deuten: Die Zustände (v, V) gleicher Energie Eo liegen auf einer Ellipse mit den Halbachsen a = Ö2Eo/m und b = Ö2Eo/M. Impulsgerade und Energie-Ellipse haben genau zwei Schnittpunkte, den Ausgangszustand A: (vo, Vo) = (-a, 0) und den Zustand B: (vB, VB) = ((M-m)a/(M+m), -2ma/(M+m)), den das System durch den Stoß erreicht. Das ist eine algebraische Antwort auf die physikalische Frage, warum es nur zwei Bewegungszustände gibt.
Die anschließende Pendelbewegung kehrt die Richtungen beider Geschwindigkeiten um, das System wandert von B in den Spiegelpunkt B’. Zu dem neuen Zustand gehört eine Impulsgerade zum Gesamtimpuls -po.
Der zweite Stoß bringt das System von B’ nach A’. Dadurch kommt die große Kugel zur Ruhe, während die kleine von A’ zum Ausgangspunkt A im Geschwindigkeitsplan zurückpendelt. Damit schließt sich der Zyklus.
Ein Paradox: Wir wiederholen das Spiel mit den ungleichen Kugeln in anderer Form. Beide Kugeln werden gleichhoch auf Fahrgestelle einer H0-Bahn montiert und auf Schienen gesetzt. Mit Schwung lassen wir die kleine Kugel gegen die ruhende große prallen. Dabei geschieht nichts Unerwartetes. Die große Kugel setzt sich in Bewegung, die kleine prallt ein Stück zurück. Durch die Reibung in den Radlagern und auf den Schienen werden beide Kugeln danach allmählich gebremst und kommen spätestens an den Prellböcken zum Stillstand.
Wir ersetzen nun die große Kugel durch einen langen Zylinder (Masse M) und die kleine Kugel durch einen kurzen Zylinder (Masse m), beide ebenfalls aus hochelastischem Stahl. Beim Vorführexperiment stehen ihre Längen und Massen im Verhältnis l : L = m : M = 1 : 2, wichtig wird aber nur sein, daß l kleiner als L ist. Wie vorhin der kleinen Kugel geben wir nun dem kurzen Zylinder einen Stoß und lassen ihn axial auf den ruhenden langen Zylinder prallen. Prallt nun, wie bei den Kugeln, der kurze Zylinder zurück? Erstaunlicherweise bleibt er beim Stoß auf der Stelle stehen, während sich der lange Zylinder mit deutlich geringerer Geschwindigkeit in Bewegung setzt. Das Bild rechts zeigt den Zustand nach dem Zusammenstoß an der Stelle des Pfeils.
Hatte der kurze Zylinder unmittelbar vor dem Zusammenstoß die Geschwindigkeit vo, muß nach diesem Ausgang des Experiments aus dem Impulssatz geschlossen werden, daß der lange Zylinder – genauer: sein Schwerpunkt – nach dem Stoß mit der kleineren Geschwindigkeit V = (m/M)vo läuft. Trotz seiner größeren Länge beträgt seine kinetische Energie E = (M/2)V2 nur den gleichen Bruchteil der kinetischen Energie Eo = (m/2)vo2, die vorher der kleine Zylinder hatte: E = (m/M)Eo. Wo ist der Rest der mechanischen Energie geblieben? In dem hochelastischen Material kann er nicht plötzlich der Materialdämpfung zum Opfer gefallen sein. Zylinderstoß: Eine Erklärung des Zylinderstoßes läßt sich durch elastische Wellen geben, die sich in Stahl mit etwa 5100 Metern pro Sekunde 15mal so schnell wie der Schall in der Luft ausbreiten. Die Zylinder stoßen sich, gut zentriert, mit den ebenen Stirnflächen. Von dort aus breitet sich die Verdichtung nach links und rechts durch je eine ebene Kompressionswelle in die beiden Zylinder aus. An den ebenen Endflächen der Zylinder werden die Kompressionswellen als Expansionswellen reflektiert und heben beim Rücklauf die Verdichtung wieder auf. Die im kurzen Zylinder reflektierte Welle hat die kürzere Laufzeit. Sie erreicht daher den Ursprung zuerst und kann in den langen Zylinder hinüberlaufen. Die vom fernen Ende des langen Zylinders zurückkehrende Expansionswelle kommt erst spät und wird an der bereits spannungsfreien Kontaktfläche reflektiert. Dabei löst sich endgültig der Kontakt der Stoßpartner.
Nun sind beide Wellen im langen Zylinder gefangen und treiben ihn in ähnlicher Weise vorwärts, wie ein Regenwurm kriecht. Man kann die Bewegung auch anders beschreiben: durch eine Schwerpunktsbewegung mit überlagerten Längsschwingungen. In diesen Schwingungen steckt die vermißte Energie.
Der Bohrhammer: Der Zylinderstoß, der schon 1857 von dem Königsberger Mathematiker Franz Neumann untersucht wurde, hat eine wichtige technische Anwendung im Bohrhammer: In diesem wirkungsvollen Bohrgerät, das sich zum Bohren durch hartes und sprödes Material wie Beton eignet, wird ein kurzer, frei fliegender Zylinder (Hammer) pneumatisch auf den Schaft (Amboß) des fast zehnmal so langen drehenden Bohrers geschossen. Der größte Teil der Leistung des kurzen Zylinders geht dadurch in die hochfrequente Schwingung des Bohrers (mehr als 10000 Hertz), die dem Bohrhammer seine gewaltige Durchschlagskraft gibt. Anders kann es nicht sein – wenngleich ich in den wissenschaftlichen Arbeiten, die die großen Herstellerfirmen anfertigen ließen, keinen überzeugenden theoretischen oder experimentellen Nachweis dafür finden konnte. Der Bohrhammer darf nicht mit dem Schlagbohrer verwechselt werden, bei dem der Bohrer mit dem Schlagwerk kinematisch gekoppelt ist.
Kugeln und Zylinder: Warum verhalten sich elastische Kugeln beim Stoß grundlegend anders als elastische Zylinder? Auch in den beiden Kugeln breitet sich die Wirkung des Zusammenstoßes durch elastische Wellen aus, aber anders als bei Zylindern gehen von der nur wenige Quadratmillimeter großen Berührzone Kugelwellen aus, die an den Kugeloberflächen vielfach reflektiert werden und sich durch Interferenz weitgehend auslöschen. Sie gehen – bevor die Kugeln sich wieder trennen – sichtlich in ein Wellenmuster über, das, anders als bei den Zylindern, im wesentlichen die Schwerpunktsbewegung darstellt.
Wolfgang Bürger
