Im Flur klingelte das Telefon. Kurz darauf steckte meine Frau den Kopf durch die Tür und sagte: “Hannes ist am Apparat. Er fragt, ob wir Lust haben, eine Fahrradtour zu machen.” Ich sah in die Runde. Die Kinder nickten, und ich meinte: “Gerne.” Hannes Vogt ist Mathematiklehrer und wohnt mit seiner Familie im Haus gegenüber. Um drei Uhr trafen wir uns mit den Vogts und machten uns auf den Weg. Nach zwei Stunden erreichten wir ein Gartencafé. “Darf ich euch zu einer Tasse Kaffee und einem Stück Kuchen oder einem Eis einladen?” fragte Hannes. Wir nahmen gern an. Die Kinder hatten ihr Eis schnell gegessen und waren im Wald verschwunden. Die Frauen unterhielten sich über die neue Herbstmode, und Hannes las in einem Buch. “Spielst du eine Runde Billard mit?” fragte er plötzlich und drückte mir ein Queue in die Hand. Gähnend reckte ich mich, und wir gingen zum Billardtisch, der unter einer Markise auf der Terrasse stand. Ich warf ein Markstück in den Münzschlitz und begann die Kugeln in den dreiekkigen Rahmen zu legen. “Warte mal einen Moment”, sagte Hannes. “Ich kenne da ein hübsches Problem.
Die Billardkugeln sind von 1 bis 15 durchnumeriert, und jede Kugel in dem Dreieck – abgesehen von den fünf Kugeln der ersten Reihe – berührt genau zwei Kugeln aus der davorliegenden Reihe. Diese beiden Kugeln nenne ich die Vorgängerinnen der Kugel. Versuche nun einmal, die Kugeln so in das Dreieck zu legen, daß die Nummer jeder Kugel aus der zweiten bis fünften Reihe gleich der Differenz der Nummern ihrer beiden Vorgängerinnen ist. Haben also beispielsweise die Vorgängerinnen die Nummern 2 und 12, so müssen sie von der Kugel mit der Nummer 10 berührt werden.” Ich hasse solche Knobeleien. Trotzdem wollte ich nicht unhöflich sein und versuchte mein Glück. Doch nach zehn Minuten gab ich auf. “Ich werde dir ein wenig helfen”, sagte Hannes und legte die Kugeln mit den Nummern 6 und 13 in die erste Reihe des Dreiecks. Aber trotz dieser Hilfe gelang es mir nicht, die restlichen Kugeln passend in das Dreieck zu legen. Haben Sie mehr Erfolg als ich? Welche Kugel gehört in die fünfte Reihe?
Die Lösung des Mai-Cogitos: Ein Würfel hat drei Paare von sich gegenüberliegenden Seitenflächen. Ein solches Flächenpaar nennen wir P, wenn die beiden schwarzen Linien auf den Flächen parallel zueinander verlaufen, und Q, wenn die Linien quer zueinander liegen. Für die drei Flächenpaare eines Würfels gibt es nun die Möglichkeiten PPP, PPQ, PQQ und QQQ. Für die Kombination PPQ existieren drei mögliche Anordnungen der Flächenpaare auf dem Würfel, für die Kombinationen PPP und QQQ jeweils zwei und für PQQ nur eine einzige. Insgesamt gibt es also acht unterschiedlich gemusterte Würfel.
Heinrich Hemme
